Ước chung là gì? Cách tính ước chung lớn nhất

Trong toán học, ước chung là gì và ước chung lớn nhất (ƯCLN) là những khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng, giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán số học một cách hiệu quả. Bạn đã từng tự hỏi làm thế nào để xác định ước chung của các số hay cách tính ƯCLN một cách nhanh chóng và chính xác? Hãy cùng khám phá chi tiết về ước chung và quy trình tính ƯCLN qua bài viết dưới đây.

Ước chung là gì?

Định nghĩa

Ước chung của hai hoặc nhiều số là số tự nhiên mà có thể chia hết cho tất cả các số đó mà không để lại số dư. Nói cách khác, ước chung là giá trị chung có thể phân chia đồng thời cho các số được xét mà không ảnh hưởng đến tính nguyên của kết quả phép chia.

Ví dụ minh họa:

• Ước chung của 6 và 12 bao gồm các số: 1, 2, 3, và 6. Đây đều là các số mà 6 và 12 đều chia hết.

Ký hiệu

Trong toán học, ước chung của hai số a và b thường được ký hiệu là ƯC(a,b). Tập hợp này bao gồm tất cả các ước chung của a và b.

Ví dụ thực tế:

• Ước chung của 20 và 30 là: {1, 2, 5, 10}. Các số này là những giá trị mà 20 và 30 đều có thể chia hết.
• Ước chung của 25 và 15 là: {1, 5}. Ở đây, 5 là ước chung lớn nhất của hai số này.
• Ước chung của 7 và 13 là: {1}. Do 7 và 13 đều là số nguyên tố với nhau, nên chỉ có số 1 là ước chung duy nhất của chúng.

Cách tính ước chung lớn nhất

1. Phân tích các số thành thừa số nguyên tố:

• Để tính ƯCLN, bước đầu tiên là phân tích mỗi số trong tập số đã cho thành tích của các thừa số nguyên tố.

Ví dụ minh họa:

• Số 12 có thể phân tích thành
  $$2^2×3
• Số 18 có thể phân tích thành 2
  $$×3^2

2. Xác định thừa số chung:

• Tìm các thừa số nguyên tố chung giữa các phân tích đã thực hiện.

Ví dụ minh họa:

• So sánh 12 =
  $$2^2×3 và 18 = 

  $2\times \; 3^2$ 

  Cả hai số này đều có thừa số nguyên tố là 2 và 3.

3. Lựa chọn số mũ nhỏ nhất cho mỗi thừa số chung:

• Cho mỗi thừa số chung, chọn số mũ nhỏ nhất xuất hiện trong các phân tích của các số.
• Nhân các thừa số nguyên tố này lại với nhau để nhận được ƯCLN.

Ví dụ minh họa:

• Đối với thừa số 2, số mũ nhỏ nhất là 1 (xuất hiện trong 18).
• Đối với thừa số 3, số mũ nhỏ nhất là 1 (xuất hiện trong 12).
• Vậy ƯCLN của 12 và 18 là 2^1 x 3^1 = 6

Tham khảo bài viết tương tự: “1, 2, 6 có phải là số nguyên tố không? “.

Bài tập ước chung lớn nhất và nhỏ nhất

Phần 1: Tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN)

• Bài tập 1: Tìm ƯCLN của các số 20 và 30.
  • Hướng giải: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố:
    • 20 =
      $$2^2×5
    • 30 = 2
      $$×3×5
  • ƯCLN: Lấy các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất:2^
    $$1×5^1=10
• Bài tập 2: Tìm ƯCLN của các số 25 và 15.
  • Hướng giải: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố:
    • 25 = 5^2
    • 15 =3
      $$×5
  • ƯCLN: Lấy các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất:5^
    $$1=55^1 = 5
• Bài tập 3: Tìm ƯCLN của các số 7 và 13.
  • Hướng giải: Cả hai số là số nguyên tố, không có thừa số chung.
  • ƯCLN: 1, vì không có thừa số chung nào giữa chúng

Phần 2: Tìm ước chung nhỏ nhất (ƯCNN)

• Bài tập 1: Tìm ƯCNN của 12 và 18.
  • Hướng giải: Sử dụng phân tích thừa số nguyên tố:
    • 12 = 2^2 x 3
    • 18 = 2×3^2
  • ƯCNN: Lấy các thừa số chung và không chung với số mũ lớn nhất: 2^2 x 3^2 = 36
• Bài tập 2: Tìm ƯCNN của 24 và 36.
  • Hướng giải: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố:
    • 24 = 2^3×3
    • 36 = 2^2×3^2
  • ƯCNN: Lấy các thừa số chung và không chung với số mũ lớn nhất: 2^3×3^2=72
• Bài tập 3: Tìm ƯCNN của 48 và 72.
  • Hướng giải: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố:
    • 48 = 2^4×3
    • 72 = 2^3×32
  • ƯCNN: Lấy các thừa số chung và không chung với số mũ lớn nhất: 2^4×3^2=144

Kết

Hiểu rõ khái niệm về ước chung và cách tính ước chung lớn nhất sẽ giúp bạn dễ dàng giải quyết các bài toán về số học. Bằng cách nắm vững các bước phân tích và tìm thừa số chung, bạn có thể áp dụng để giải nhiều bài toán thực tế một cách hiệu quả.