Giải toán 8 Luyện tập chung trang 40 – Kết nối tri thức

Sách toán lớp 8 Luyện tập chung trên trang 40, học sinh được thực hành các dạng bài tập đa dạng, từ phép tính đại số đến ứng dụng các công thức toán học cơ bản trong các tình huống thực tế.

Giải toán 8 Luyện tập chung trang 40

Câu 2.16 trang 40 toán 8 kết nối tri thức

Tính nhanh giá trị biểu thức

$x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}$ tại x = 99,75.

Đáp án:

Để tính giá trị của biểu thức $x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}$ tại $x = 99.75$:

1. Tính $x^2$:

   $$99.75^2=9950.5625$$

2. Tính $\frac{1}{2}x$:

   $$\frac{1}{2}\times 99.75=49.875$$

3. Cộng các giá trị:

   $$9950.5625+49.875+0.0625=10000.5$$

Vậy, giá trị của biểu thức tại $x = 99.75$ là $10000.5$

Câu 2.17 trang 40 toán 8 kết nối tri thức

Chứng minh đẳng thức (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25. Từ đó em hãy nêu một quy tắc tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng là 5.

Áp dụng: Tính 252; 352.

Đáp án:

Chứng minh đẳng thức: $(10a + 5)^2 = 100a(a + 1) + 25$ Khai triển: $(10a + 5)^2 = 100a^2 + 100a \cdot 5 + 25 = 100a^2 + 500a + 25$

$100a(a + 1) + 25 = 100a^2 + 100a + 25$ Kết quả của cả hai biểu thức bằng nhau, vậy đẳng thức được chứng minh là đúng.
Quy tắc tính nhẩm: Để tính bình phương của một số có tận cùng là 5: $(10n + 5)^2 = 100n(n+1) + 25$ Trong đó $n$ là phần số không bao gồm chữ số cuối cùng là 5.

Áp dụng:

Tính $25^2$:

• $n = 2$
  
• $25^2 = 100 \cdot 2 \cdot 3 + 25 = 625$
  

Tính $35^2$:

• $n = 3$
  
• $35^2 = 100 \cdot 3 \cdot 4 + 25 = 1225$
  

Quy tắc này giúp tính nhẩm nhanh bình phương của các số tận cùng là 5 một cách dễ dàng.

Câu 2.18 trang 40 toán 8 kết nối tri thức

Tính nhanh giá trị của các biểu thức:

a) x³ + 3x² + 3x + 1 tại x = 99;

b) x³ – 3x²y + 3xy² – y³ tại x = 88 và y = –12.

Đáp án:

a) Ta có x³ + 3x² + 3x + 1

= x³ + 3 . x² . 1 + 3 . x . 1² + 1³ = (x + 1)³.

Thay x = 99 vào biểu thức (x + 1)³, ta được:

(99 + 1)³ = 100³ = 1 000 000.

b) Ta có x³ – 3x²y + 3xy² – y³ = (x – y)³.

Thay x = 88 và y = –12 vào biểu thức (x – y)³, ta được:

[88 – (–12)]³ = (88 + 12)³ = 100³ = 1 000 000.

Câu 2.19 trang 40 toán 8 kết nối tri thức

Rút gọn các biểu thức:

a) (x – 2)³ + (x + 2)³ – 6x(x + 2)(x – 2);

b) (2x – y)³ + (2x + y)³.

Đáp án:

a) (x – 2)3 + (x + 2)3 – 6x(x + 2)(x – 2)

= [(x – 2) + (x + 2)] . [(x – 2)2 – (x – 2).(x + 2) + (x + 2)2] – 6x(x2 – 4)

= (x – 2 + x + 2).[x2 – 4x + 4 – (x2 – 4) + x2 + 4x + 4] – 6x(x2 – 4)

= 2x.(2×2 + 8 – x2 + 4) – 6x(x2 – 4)

= 2x(x2 + 12) – 6x(x2 – 4)

= 2×3 + 24x – 6×3 + 24x

= – 4×3 + 48x.

b) (2x – y)3 + (2x + y)3

= (2x)3 – 3 . (2x)2 . y + 3 . 2x . y2 – y3 + (2x)3 + 3 . (2x)2 . y + 3 . 2x . y2 + y3

= (2x)3 + 3 . 2x . y2 + (2x)3 + 3 . 2x . y2

= 8×3 + 6xy2 + 8×3 + 6xy2 = 16×3 + 12xy2.

Xem thêm>>> Giải toán 8 Bài 8 Tổng và hiệu hai lập phương – Kết nối tri thưc·

Câu 2.20 trang 40 toán 8 kết nối tri thức

Chứng minh rằng a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b).

Áp dụng, tính a³ + b³ biết a + b = 4 và ab = 3.

Đáp án:

Chứng minh: Khai triển $(a + b)^3$:
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ Rút gọn $3ab(a + b)$:
$3ab(a + b) = 3a^2b + 3ab^2$
So sánh: $(a + b)^3 – 3ab(a + b) = a^3 + b^3$ Đẳng thức được chứng minh.

Áp dụng: Cho $a + b = 4$ và $ab = 3$:
$a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)$
$= 4^3 – 3 \times 3 \times 4$
$= 64 – 36 = 28$
Vậy, $a^3 + b^3 = 28$
khi $a + b = 4$ và $ab = 3$.

Câu 2.21 trang 40 toán 8 kết nối tri thức

Bác Tùng gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng theo thể thức lãi kép theo định kì với lãi suất không đổi x mỗi năm (tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp). Biểu thức S = 200(1 + x)³ (triệu đồng) là số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm.

a) Tính số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm khi lãi suất x = 5,5%.

b) Khai triển S thành đa thức theo x và xác định bậc của đa thức.

Đáp án:

a) Tính số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm khi lãi suất x = 5,5%.

Để tính số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm với lãi suất 5,5% theo thể thức lãi kép, ta cần thay lãi suất $x = 5.5\% = 0.055$ vào công thức:
$S = 200(1 + x)^3$
$S = 200(1 + 0.055)^3$
$S = 200(1.055)^3$

Tính $(1.055)^3$:
$(1.055)^3 \approx 1.172$
$S = 200 \times 1.172 = 234.4$ triệu đồng

Vậy, số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm là 234.4 triệu đồng.

b) Khai triển S thành đa thức theo x và xác định bậc của đa thức.

Để khai triển $S = 200(1 + x)^3$ thành đa thức theo x,
$(1 + x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3$
$S = 200(1 + 3x + 3x^2 + x^3)$
$S = 200 + 600x + 600x^2 + 200x^3$

Biểu thức của $S$ sau khi khai triển là: $S = 200 + 600x + 600x^2 + 200x^3$

Bậc của đa thức này là 3, vì $x^3$ là số hạng có bậc cao nhất trong đa thức.