Lý thuyết toán lớp 8 – Nhân đa thức với đa thức

Trong toán học, việc nhân đa thức với đa thức là một kỹ năng cơ bản nhưng vô cùng quan trọng. Đây không chỉ là bước đầu để giải quyết các bài toán phức tạp mà còn là nền tảng cho nhiều khái niệm và ứng dụng cao cấp hơn. Bạn có biết cách nhân đa thức đúng cách và hiệu quả không? Hãy cùng khám phá các công thức và bài tập minh họa để nắm vững kỹ năng này và áp dụng vào thực tế một cách linh hoạt.

Nhân đa thức với đa thức

Nhân đa thức với đa thức là một trong những phép toán cơ bản và quan trọng trong đại số, liên quan đến việc tính toán tích của hai hoặc nhiều đa thức. Phép nhân này kết quả trong một đa thức mới, có bậc bằng tổng các bậc của các đa thức đầu vào. Điều này có nghĩa là khi bạn nhân hai đa thức, bậc của tích sẽ là tổng bậc của từng đa thức thành phần, từ đó tạo ra một đa thức có bậc cao hơn.

Cách thực hiện nhân hai đa thức

Bước 1: Chuẩn bị các hạng tử

Đầu tiên, ta phải xác định mọi hạng tử trong mỗi đa thức cần nhân. Điều này bao gồm việc hiểu rõ hệ số và bậc của từng hạng tử trong cả hai đa thức.

Bước 2: Nhân các hạng tử

Tiếp theo, chúng ta thực hiện nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai. Mỗi phép nhân của hai hạng tử sẽ tạo ra một hạng tử mới, với hệ số bằng tích của hai hệ số và bậc bằng tổng bậc của hai hạng tử đó. Ví dụ, nếu bạn có hạng tử \(a^b\) trong đa thức thứ nhất và \(c^d\) trong đa thức thứ hai, hạng tử kết quả sẽ là \(a^b \cdot c^d = ac^{b+d}\).

Bước 3: Tổng hợp kết quả

Sau khi nhân từng cặp hạng tử, ta sẽ có một loạt các hạng tử mới. Bước cuối cùng là cộng tất cả các hạng tử này lại với nhau. Trong quá trình cộng, chú ý đến việc cộng các hạng tử có cùng bậc, ghép chúng lại để tạo thành một hạng tử đơn giản hơn.

Ví dụ:

Cho hai đa thức \(A(x) = x^2 + 3x + 2\) và \(B(x) = x + 4\).

Bước 1: Nhân từng hạng tử của \(A(x)\) với từng hạng tử của \(B(x)\)
\(x^2 \cdot x = x^3\)
\(x^2 \cdot 4 = 4x^2\)
\(3x \cdot x = 3x^2\)
\(3x \cdot 4 = 12x\)
\(2 \cdot x = 2x\)
\(2 \cdot 4 = 8\)

Bước 2: Cộng tất cả các kết quả lại
\[
x^3 + 4x^2 + 3x^2 + 12x + 2x + 8
\]

Bước 3: Đơn giản hóa
\[
x^3 + 7x^2 + 14x + 8
\]

Xem thêm bài viết sau: “Lý thuyết toán lớp 8 – Chia đa thức cho đa thức“.

Công thức nhân đa thức với đa thức

Công thức chung

Giả sử \(A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_mx^m\) và \(B(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \ldots + b_nx^n\), thì:
\[
C(x) = A(x) \cdot B(x) = \sum_{i=0}^{m+n} c_ix^i
\]
Trong đó, \(c_k = \sum_{i+j=k} a_ib_j\).

Công thức đặc biệt

Bình phương của một đa thức: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
Hiệu bình phương: \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\)
Lập phương của một tổng: \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

Bài tập nhân đa thức với đa thức

Bài tập 1 Nhân các đa thức \(x^2 + 2x + 1\) và \(x + 3\).

Giải:
Nhân từng hạng tử của \(x^2 + 2x + 1\) với từng hạng tử của \(x + 3\):
\(x^2 \cdot x = x^3\)
\(x^2 \cdot 3 = 3x^2\)
\(2x \cdot x = 2x^2\)
\(2x \cdot 3 = 6x\)
\(1 \cdot x = x\)
\(1 \cdot 3 = 3\)
Cộng các kết quả lại:
\[
x^3 + 3x^2 + 2x^2 + 6x + x + 3 = x^3 + 5x^2 + 7x + 3
\]

Bài tập 2 Tính tích của hai đa thức

Tính tích của \(2x^2 – 3x + 1\) với \(x^2 + 2x – 4\).

Giải:
Nhân từng hạng tử của \(2x^2 – 3x + 1\) với từng hạng tử của \(x^2 + 2x – 4\):
\(2x^2 \cdot x^2 = 2x^4\)
\(2x^2 \cdot 2x = 4x^3\)
\(2x^2 \cdot (-4) = -8x^2\)
\(-3x \cdot x^2 = -3x^3\)
\(-3x \cdot 2x = -6x^2\)
\(-3x \cdot (-4) = 12x\)
\(1 \cdot x^2 = x^2\)
\(1 \cdot 2x = 2x\)
\(1 \cdot (-4) = -4\)

Cộng các kết quả lại:
\[
2x^4 + 4x^3 – 3x^3 – 8x^2 – 6x^2 + x^2 + 12x + 2x – 4 = 2x^4 + x^3 – 13x^2 + 14x – 4
\]

Việc nhân đa thức với đa thức là một kỹ năng quan trọng trong toán học, giúp giải quyết nhiều bài toán từ cơ bản đến phức tạp. Hiểu và áp dụng đúng cách nhân đa thức không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán hiệu quả mà còn là nền tảng để học các kiến thức cao cấp hơn. Hãy thực hành các bài tập và áp dụng các công thức một cách linh hoạt để nắm vững kỹ năng này.