Toán 9 Kết nối tri thức 1: Luyện tập chung trang 64

Trong sách giáo khoa Toán 9 Kết nối tri thức luyện tập chung trang 64 cung cấp một loạt các bài tập đa dạng, giúp học sinh củng cố kiến thức và phát triển kỹ năng giải toán đã học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi sâu vào phân tích từng bài tập, giải thích các phương pháp và chiến lược giải quyết hiệu quả, qua đó hỗ trợ các em trong việc nắm vững và áp dụng các khái niệm toán học vào thực tế, chuẩn bị tốt cho những thách thức sắp tới.

Giải bài luyện tập chung trang 64

Bài 3.28 toán 9 sgk KNTT trang 64

Rút gọn các biểu thức sau:

a)
\[
\frac{5 + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} – \frac{1}{\sqrt{5} – 2}.
\]

Giải:

\[
\frac{5 + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} + 3.
\]
Tiếp theo ta rút gọn:
\[
\frac{1}{\sqrt{5} – 2} \times \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 – 4} = \sqrt{5} + 2.
\]
Do đó:
\[
\sqrt{5} + 3 – (\sqrt{5} + 2) = 1.
\]

b)
\[
\sqrt{\left(\sqrt{7} – 2\right)^2} – \sqrt{63} + \frac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}}.
\]

Giải:

\[
\sqrt{\left(\sqrt{7} – 2\right)^2} = \left|\sqrt{7} – 2\right| = \sqrt{7} – 2,
\]
\[
\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7},
\]
\[
\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{56}{2}} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.
\]
Vậy biểu thức rút gọn là:
\[
\sqrt{7} – 2 – 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = 0.
\]

c)
\[
\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right)^2} + \sqrt{\left(\sqrt{3} – \sqrt{2}\right)^2}}{2\sqrt{12}}.
\]

Giải:

\[
\sqrt{\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right)^2} = \left|\sqrt{3} + \sqrt{2}\right| = \sqrt{3} + \sqrt{2},
\]
\[
\sqrt{\left(\sqrt{3} – \sqrt{2}\right)^2} = \left|\sqrt{3} – \sqrt{2}\right| = \sqrt{3} – \sqrt{2}.
\]
Vậy ta có:
\[
\frac{\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right) + \left(\sqrt{3} – \sqrt{2}\right)}{2\sqrt{12}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}.
\]

d)
\[
\frac{\sqrt[3]{(\sqrt{2} + 1)^3} – 1}{\sqrt{50}}.
\]

Giải:

\[
\sqrt[3]{(\sqrt{2} + 1)^3} = \sqrt{2} + 1.
\]
Do đó:
\[
\frac{\sqrt{2} + 1 – 1}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5}.
\]

Bài 3.29 toán 9 sgk KNTT trang 64

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a)
\[
3\sqrt{45} + \frac{5\sqrt{15}}{\sqrt{3}} – 2\sqrt{245}.
\]

Giải:

\[
3\sqrt{45} = 3\sqrt{9 \times 5} = 9\sqrt{5},
\]
\[
\frac{5\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{\frac{15}{3}} = 5\sqrt{5},
\]
\[
2\sqrt{245} = 2\sqrt{49 \times 5} = 14\sqrt{5}.
\]
Vậy biểu thức rút gọn là:
\[
9\sqrt{5} + 5\sqrt{5} – 14\sqrt{5} = 0.
\]

b)
\[
\frac{\sqrt{12} – \sqrt{4}}{\sqrt{3} – 1} – \frac{\sqrt{21} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} + 1} + \sqrt{7}.
\]

Giải:

\[
\sqrt{12} = 2\sqrt{3}, \quad \sqrt{4} = 2,
\]
\[
\sqrt{21} = \sqrt{3 \times 7} = \sqrt{3}\sqrt{7}.
\]
Vậy ta tính toán như sau:
\[
\frac{2\sqrt{3} – 2}{\sqrt{3} – 1} = 2,
\]
\[
\frac{\sqrt{3}\sqrt{7} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{7}.
\]
Vậy biểu thức rút gọn là:
\[
2 – \sqrt{7} + \sqrt{7} = 2.
\]

c)
\[
\frac{3 – \sqrt{3}}{1 – \sqrt{3}} + \sqrt{3}\left(2\sqrt{3} – 1\right) + \sqrt{12}.
\]

Giải:

Ta tính:
\[
\frac{3 – \sqrt{3}}{1 – \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(3 – \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 – \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = -2 + \frac{2\sqrt{3}}{2}.
\]
Tiếp tục tính:
\[
\sqrt{12} = 2\sqrt{3}.
\]
Vậy biểu thức rút gọn là:
\[
-2 + 2\sqrt{3} + 2 = 0.
\]

d)
\[
\frac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} – 1} – \frac{6}{\sqrt{6}}.
\]

Giải:

\[
\frac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} + 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.
\]
Tiếp tục tính:
\[
\frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}.
\]
Vậy biểu thức rút gọn là:
\[
1 – \sqrt{6} + \sqrt{6} = 1.
\]

Xem thêm bài sau: “Toán 9 Kết nối tri thức 1: Căn bậc ba và căn thức bậc ba“.

Bài 3.30 toán 9 sgk KNTT trang 64

Giả sử lực F của gió thổi theo phương vuông góc với bề mặt cánh buồm của một con thuyền tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ của gió, hệ số tỉ lệ là 30.

Trong đó, lực F được tính bằng Newton (N) và tốc độ được tính bằng m/s.

a) Khi tốc độ của gió là 10 m/s thì lực F là bao nhiêu Newton?

Giải:

Ta có công thức:
\[
F = k \cdot v^2.
\]
Với k = 30, v = 10 m/s, thay vào công thức ta tính được:
\[
F = 30 \cdot (10)^2 = 30 \cdot 100 = 3000 N.
\]
Vậy lực F khi tốc độ của gió là 10 m/s là 3000 Newton.

b) Nếu cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12 000 N thì con thuyền đó có thể đi được trong gió với tốc độ tối đa là bao nhiêu?

Giải:

Sử dụng lại công thức, thay F = 12 000 N và k = 30, ta có:
\[
12 000 = 30 \cdot v^2,
\]
\[
v^2 = \frac{12 000}{30} = 400,
\]
\[
v = \sqrt{400} = 20 m/s.
\]
Vậy tốc độ tối đa của gió mà cánh buồm có thể chịu được là 20 m/s.

Bài 3.31 toán 9 sgk KNTT trang 64

Rút gọn các biểu thức sau:

a)

\[
\sqrt[3]{(-x-1)^3}
\]

Giải:

Ta có công thức căn bậc 3:
\[
\sqrt[3]{a^3} = a.
\]
Do đó:
\[
\sqrt[3]{(-x-1)^3} = -x – 1.
\]

b)

\[
\sqrt[3]{8x^3 – 12x^2 + 6x – 1}
\]

Giải:

Ta có thể nhóm lại và phân tích đa thức thành tích các nhân tử:
\[
\sqrt[3]{(2x – 1)^3}.
\]
Vậy:
\[
\sqrt[3]{8x^3 – 12x^2 + 6x – 1} = 2x – 1.
\]