Toán 9 Kết nối tri thức 1: Luyện tập chung

Trong phần ‘Luyện tập chung‘ của sách ‘Toán 9 Kết nối tri thức’, học sinh sẽ có cơ hội củng cố và mở rộng các kiến thức đã học qua một loạt các bài tập đa dạng. Bài học này không chỉ giúp các em ôn tập và áp dụng các khái niệm toán học vào thực tiễn, mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi sắp tới. Hãy tận dụng tối đa phần luyện tập này để nâng cao trình độ và tự tin hơn trong môn Toán.

Giải bài luyện tập chung

Bài 1.10 toán 9 sgk KNTT trang 20

Cho hai phương trình:
\begin{align*}
-2x + 5y &= 7 \quad \text{(1)} \\
4x – 3y &= 7 \quad \text{(2)}
\end{align*}

Trong các cặp số \((2; 0)\), \((1; -1)\), \((-1; 1)\), \((-1; 6)\), \((4; 3)\) và \((-2; -5)\), cặp số nào là:

a) Nghiệm của phương trình (1)?

Lời giải:

Thay \(x = 2\), \(y = 0\) vào phương trình (1):
\[
-2(2) + 5(0) = -4 \neq 7 \implies (2; 0) \text{ không phải là nghiệm của phương trình (1)}.
\]

Thay \(x = 1\), \(y = -1\) vào phương trình (1):
\[
-2(1) + 5(-1) = -2 – 5 = -7 \neq 7 \implies (1; -1) \text{ không phải là nghiệm của phương trình (1)}.
\]

Thay \(x = -1\), \(y = 1\) vào phương trình (1):
\[
-2(-1) + 5(1) = 2 + 5 = 7 \implies (-1; 1) \text{ là nghiệm của phương trình (1)}.
\]

Thay \(x = -1\), \(y = 6\) vào phương trình (1):
\[
-2(-1) + 5(6) = 2 + 30 = 32 \neq 7 \implies (-1; 6) \text{ không phải là nghiệm của phương trình (1)}.
\]

Thay \(x = 4\), \(y = 3\) vào phương trình (1):
\[
-2(4) + 5(3) = -8 + 15 = 7 \implies (4; 3) \text{ là nghiệm của phương trình (1)}.
\]

Thay \(x = -2\), \(y = -5\) vào phương trình (1):
\[
-2(-2) + 5(-5) = 4 – 25 = -21 \neq 7 \implies (-2; -5) \text{ không phải là nghiệm của phương trình (1)}.
\]

Vậy các nghiệm của phương trình (1) là \((-1; 1)\) và \((4; 3)\).

b) Nghiệm của phương trình (2)?

Lời giải:

Thay \(x = 2\), \(y = 0\) vào phương trình (2):
\[
4(2) – 3(0) = 8 \neq 7 \implies (2; 0) \text{ không phải là nghiệm của phương trình (2)}.
\]

Thay \(x = 1\), \(y = -1\) vào phương trình (2):
\[
4(1) – 3(-1) = 4 + 3 = 7 \implies (1; -1) \text{ là nghiệm của phương trình (2)}.
\]

Thay \(x = -1\), \(y = 1\) vào phương trình (2):
\[
4(-1) – 3(1) = -4 – 3 = -7 \neq 7 \implies (-1; 1) \text{ không phải là nghiệm của phương trình (2)}.
\]

Thay \(x = -1\), \(y = 6\) vào phương trình (2):
\[
4(-1) – 3(6) = -4 – 18 = -22 \neq 7 \implies (-1; 6) \text{ không phải là nghiệm của phương trình (2)}.
\]

Thay \(x = 4\), \(y = 3\) vào phương trình (2):
\[
4(4) – 3(3) = 16 – 9 = 7 \implies (4; 3) \text{ là nghiệm của phương trình (2)}.
\]

Thay \(x = -2\), \(y = -5\) vào phương trình (2):
\[
4(-2) – 3(-5) = -8 + 15 = 7 \implies (-2; -5) \text{ là nghiệm của phương trình (2)}.
\]

Vậy các nghiệm của phương trình (2) là \((1; -1)\), \((4; 3)\) và \((-2; -5)\).

c) Nghiệm của hệ gồm phương trình (1) và phương trình (2)?

Lời giải:

Xét cặp \((2; 0)\): Không là nghiệm của (1), không là nghiệm của (2).
Xét cặp \((1; -1)\): Không là nghiệm của (1), là nghiệm của (2).
Xét cặp \((-1; 1)\): Là nghiệm của (1), không là nghiệm của (2).
Xét cặp \((-1; 6)\): Không là nghiệm của (1), không là nghiệm của (2).
Xét cặp \((4; 3)\): Là nghiệm của (1), là nghiệm của (2).
Xét cặp \((-2; -5)\): Không là nghiệm của (1), là nghiệm của (2).

Vậy nghiệm của hệ là \((4; 3)\).

Bài 1.11 toán 9 sgk KNTT trang 20

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a)
\[
\begin{cases}
2x – y = -1 \\
x – 2y = -1
\end{cases}
\]

b)
\[
\begin{cases}
0.5x – 0.5y = 0.5 \\
1.2x – 1.2y = 1.2
\end{cases}
\]

c)
\[
\begin{cases}
x + 3y = -2 \\
5x – 4y = 28
\end{cases}
\]

Lời giải:

a) Từ phương trình thứ nhất ta có \( y = 2x – 1 \). Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
\[
x – 2(2x – 1) = -1 \implies x – 4x + 2 = -1 \implies -3x + 2 = -1 \implies -3x = -3 \implies x = 1.
\]
Từ đó \( y = 2 \cdot 1 – 1 = 1 \).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \( (1; 1) \).

b) Chia hai vế của phương trình thứ nhất cho 0,5 và chia hai vế của phương trình thứ hai cho 1,2 ta được:
\[
x – y = 1,
\]
\[
x – y = 1.
\]
Từ phương trình thứ nhất ta có \( y = x – 1 \). (1)

Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
\[
x – (x – 1) = 1 \implies x – x + 1 = 1 \implies 0 = 0. \hspace{5mm} (2)
\]

Ta thấy mọi giá trị của \( x \) đều thỏa mãn hệ thức (2).

Với mọi giá trị tùy ý của \( x \), giá trị tương ứng của \( y \) được tính bởi (1).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \( (x; x – 1) \) với \( x \in \mathbb{R} \) tùy ý.

c) Từ phương trình thứ nhất ta có \( x = -3y – 2 \). Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
\[
5(-3y – 2) – 4y = 28 \implies -15y – 10 – 4y = 28 \implies -19y = 38 \implies y = -2.
\]
Từ đó \( x = -3 \cdot (-2) – 2 = 6 – 2 = 4 \).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \( (4; -2) \).

Xem thêm bài viết khác: “Toán 9 KNTT 1: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn“.

Bài 1.12 toán 9 sgk KNTT trang 20

Giải các hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

a) Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
5x + 7y = -1 \\
3x + 2y = -5
\end{cases}
\]

Nhân phương trình thứ hai với 5, ta được:
\[
5(3x + 2y) = 5(-5) \implies 15x + 10y = -25 \quad (3)
\]

Nhân phương trình thứ nhất với 3, ta được:
\[
3(5x + 7y) = 3(-1) \implies 15x + 21y = -3 \quad (4)
\]

Lấy phương trình (4) trừ phương trình (3), ta có:
\[
15x + 21y – (15x + 10y) = -3 – (-25) \implies 11y = 22 \implies y = 2
\]

Thay \( y = 2 \) vào phương trình thứ nhất:
\[
5x + 7(2) = -1 \implies 5x + 14 = -1 \implies 5x = -15 \implies x = -3
\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm \( (x, y) = (-3, 2) \).

b) Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2x – 3y = 11 \\
-0,8x + 1,2y = 1
\end{cases}
\]

Nhân phương trình thứ hai với 10, ta được:
\[
10(-0,8x + 1,2y) = 10(1) \implies -8x + 12y = 10 \quad (3)
\]

Nhân phương trình thứ nhất với 4, ta được:
\[
4(2x – 3y) = 4(11) \implies 8x – 12y = 44 \quad (4)
\]

Cộng phương trình (3) và (4), ta có:
\[
-8x + 12y + 8x – 12y = 10 + 44 \implies 0 = 54 \quad (\text{vô lý})
\]

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

c) Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
4x – 3y = 6 \\
0,4x + 0,2y = 0,8
\end{cases}
\]

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 10, ta có:
\[
\begin{cases}
4x – 3y = 6 \\
4x + 2y = 8
\end{cases}
\]

Trừ từng vế của hai phương trình trong hệ mới, ta được:
\[
-5y = -2 \implies y = \frac{2}{5}
\]

Thay \( y = \frac{2}{5} \) vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được:
\[
4x – 3 \cdot \frac{2}{5} = 6 \implies 4x – \frac{6}{5} = 6 \implies 4x = 6 + \frac{6}{5} \implies 4x = \frac{36}{5} \implies x = \frac{9}{5}
\]

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \( \left( \frac{9}{5}, \frac{2}{5} \right) \).

Bài 1.13 toán 9 sgk KNTT trang 20

Tìm các hệ số x, y trong phản ứng hóa học đã được cân bằng sau:

\[
4\text{Al} + x\text{O}_2 \rightarrow y\text{Al}_2\text{O}_3
\]

Lời giải:

Ta có phương trình hóa học chưa cân bằng:

\[
4\text{Al} + x\text{O}_2 \rightarrow y\text{Al}_2\text{O}_3
\]

Cân bằng số nguyên tử Al và O ở hai vế của phương trình:

– Số nguyên tử Al ở vế trái: 4
– Số nguyên tử Al ở vế phải: 2y

Do đó, 2y = 4 hay y = 2.

– Số nguyên tử O ở vế trái: 2x
– Số nguyên tử O ở vế phải: 3y

Do đó, 2x = 3y. Thay y = 2 vào, ta được:

\[
2x = 3 \cdot 2 \implies 2x = 6 \implies x = 3
\]

Vậy các hệ số cần tìm là x = 3, y = 2. Phương trình hóa học đã cân bằng là:

\[
4\text{Al} + 3\text{O}_2 \rightarrow 2\text{Al}_2\text{O}_3
\]

Bài 1.14 toán 9 sgk KNTT trang 20

Tìm a và b sao cho hệ phương trình
\[
\begin{cases}
ax + by = 1 \\
ax + (b-2)y = 3
\end{cases}
\]
có nghiệm là (1; -2).

Lời giải:

Hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; -2) nên ta có:
\[
\begin{cases}
a \cdot 1 + b \cdot (-2) = 1 \\
a \cdot 1 + (2 – b) \cdot (-2) = 3
\end{cases}
\]

Suy ra,
\[
\begin{cases}
a – 2b = 1 \\
a + 2b – 4 = 3
\end{cases}
\]
hay
\[
\begin{cases}
a – 2b = 1 \\
a + 2b = 7
\end{cases}
\]

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 2a = 8, hay a = 4.

Thế a = 4 vào phương trình thứ nhất của hệ mới, ta có 4 – 2b = 1, hay 2b = 3, suy ra b = 3/2.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( 4; 3/2).