Toán 9 Kết nối tri thức 1: Khai căn bậc hai với phép nhân…

Khai thác sự kết hợp giữa khai căn bậc hai và phép nhân… là một kỹ thuật toán học quan trọng mà học sinh lớp 9 cần nắm vững. Trong phần này của sách giáo khoa Toán 9 Kết nối tri thức, chúng ta sẽ tìm hiểu cách áp dụng phép nhân trong quá trình khai căn, từ đó giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả và chính xác. Bài viết này sẽ hướng dẫn các em học sinh cách phân tích và sử dụng công thức để đơn giản hóa các biểu thức căn thức, giúp tăng cường kỹ năng giải toán và phát triển tư duy logic.

Giải bài khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Bài 3.7 toán 9 sgk KNTT trang 51

Tính các biểu thức sau:

(a) \( \sqrt{12} \cdot \left( \sqrt{12} + \sqrt{3} \right) \);
(b) \( \sqrt{8} \cdot \left( \sqrt{50} – \sqrt{2} \right) \);
(c) \( \left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)^2 – 2\sqrt{6}. \)

Giải:

(a) Biểu thức \( \sqrt{12} \cdot \left( \sqrt{12} + \sqrt{3} \right) \):

Ta có \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \), do đó biểu thức trở thành:
\[
\sqrt{12} \cdot \left( \sqrt{12} + \sqrt{3} \right) = 2\sqrt{3} \cdot \left( 2\sqrt{3} + \sqrt{3} \right) = 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 18.
\]

(b) Biểu thức \( \sqrt{8} \cdot \left( \sqrt{50} – \sqrt{2} \right) \):

Ta có \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) và \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \), do đó biểu thức trở thành:
\[
\sqrt{8} \cdot \left( \sqrt{50} – \sqrt{2} \right) = 2\sqrt{2} \cdot \left( 5\sqrt{2} – \sqrt{2} \right) = 2\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 16.
\]

(c) Biểu thức \( \left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)^2 – 2\sqrt{6} \):

Tính \( \left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)^2 \):
\[
\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)^2 = 3 + 2 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6}.
\]

Do đó biểu thức trở thành:
\[
5 + 2\sqrt{6} – 2\sqrt{6} = 5.\]

Kết quả:
(a) \( \sqrt{12} \cdot \left( \sqrt{12} + \sqrt{3} \right) = 18 \).
(b) \( \sqrt{8} \cdot \left( \sqrt{50} – \sqrt{2} \right) = 16 \).
(c) \( \left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)^2 – 2\sqrt{6} = 5 \).

Bai 3.8 toán 9 sgk KNTT trang 51

Rút gọn biểu thức sau:

\[
\sqrt{2(a^2 – b^2)} \cdot \sqrt{\frac{3}{a + b}} \quad \text{(với \(a \geq b > 0\))}.
\]

Giải:

Ta có thể rút gọn biểu thức theo các bước sau:

\[
\sqrt{2(a^2 – b^2)} \cdot \sqrt{\frac{3}{a + b}} = \sqrt{ \frac{2(a^2 – b^2) \cdot 3}{a + b} }.
\]

Sử dụng hằng đẳng thức \( a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) \), ta có:

\[
\sqrt{ \frac{2(a – b)(a + b) \cdot 3}{a + b} }.
\]

Rút gọn \( a + b \) ở tử và mẫu số, biểu thức trở thành:

\[
\sqrt{ 6(a – b) }.
\]

Vậy, biểu thức rút gọn cuối cùng là:

\[
\boxed{\sqrt{6(a – b)}}.
\]

Bài 3.9 toán 9 sgk KNTT trang 51

Tính các biểu thức sau:

(a) \( \sqrt{99} : \sqrt{11} \);
(b) \( \sqrt{7,84} \);
(c) \( \sqrt{1815} : \sqrt{15} \).

Giải:

(a) Biểu thức \( \sqrt{99} : \sqrt{11} \):

Ta có:
\[
\frac{\sqrt{99}}{\sqrt{11}} = \sqrt{\frac{99}{11}} = \sqrt{9} = 3.
\]

(b) Biểu thức \( \sqrt{7,84} \):

Ta có:
\[
\sqrt{7,84} = 2,8.
\]

(c) Biểu thức \( \sqrt{1815} : \sqrt{15} \):

Ta có:
\[
\frac{\sqrt{1815}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{1815}{15}} = \sqrt{121} = 11.
\]

Kết quả:
(a) \( \sqrt{99} : \sqrt{11} = 3 \).
(b) \( \sqrt{7,84} = 2,8 \).
(c) \( \sqrt{1815} : \sqrt{15} = 11 \).

Tham khảo thêm bài giải: “Toán 9 Kết nối tri thức 1: Căn bậc hai và căn thức bậc hai“.

Bài 3.10 toán 9 sgk KNTT trang 51

Rút gọn biểu thức sau:

\[
\frac{-3\sqrt{16a} + 5a\sqrt{16ab^2}}{2\sqrt{a}} \quad \text{(với \( a > 0 \), \( b > 0 \))}.
\]

Giải:

Bước 1: Tính căn bậc hai của các số bên trong căn.

\[
\sqrt{16a} = 4\sqrt{a}, \quad \sqrt{16ab^2} = 4b\sqrt{a}.
\]

Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu.

\[
\frac{-3(4\sqrt{a}) + 5a(4b\sqrt{a})}{2\sqrt{a}} = \frac{-12\sqrt{a} + 20ab\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}.
\]

Bước 3: Rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho \( \sqrt{a} \).

\[
= \frac{\sqrt{a}(-12 + 20ab)}{2\sqrt{a}} = \frac{-12 + 20ab}{2}.
\]

Bước 4: Chia cả tử cho mẫu.

\[
= \frac{-12}{2} + \frac{20ab}{2} = -6 + 10ab.
\]

Vậy biểu thức rút gọn là:

\[
\boxed{-6 + 10ab}.
\]

Bài 3.11 toán 9 sgk KNTT trang 51

Kích thước màn hình tivi hình chữ nhật được xác định bởi độ dài đường chéo. Một loại tivi có tỉ lệ hai cạnh màn hình là 4 : 3.

a) Gọi \( x \) (inch) là chiều rộng của màn hình tivi. Viết công thức tính độ dài đường chéo \( d \) (inch) của màn hình tivi theo \( x \).
b) Tính chiều rộng và chiều dài (theo centimet) của màn hình tivi loại 40 inch.

Giải:

a) Vì tỉ lệ hai cạnh là 4:3, chiều dài của màn hình tivi là \( \frac{4}{3}x \). Theo định lý Pythagore, độ dài đường chéo \( d \) của màn hình tivi được tính bằng:
\[
d = \sqrt{x^2 + \left(\frac{4}{3}x\right)^2} = \sqrt{x^2 + \frac{16}{9}x^2} = \sqrt{\frac{9x^2 + 16x^2}{9}} = \frac{\sqrt{25x^2}}{3} = \frac{5x}{3}.
\]

b) Đối với màn hình tivi loại 40 inch, ta có:
\[
d = 40 \text{ inch}.
\]
Do đó:
\[
40 = \frac{5x}{3} \Rightarrow x = \frac{40 \times 3}{5} = 24 \text{ inch}.
\]
Chiều dài của màn hình tivi là:
\[
\frac{4}{3}x = \frac{4}{3} \times 24 = 32 \text{ inch}.
\]

Đổi từ inch sang centimet (với 1 inch ≈ 2.54 cm), ta có:
\[
\text{Chiều rộng} = 24 \times 2.54 = 60.96 \text{ cm},
\]
\[
\text{Chiều dài} = 32 \times 2.54 = 81.28 \text{ cm}.
\]

Vậy, chiều rộng và chiều dài của màn hình tivi loại 40 inch là \( 60.96 \) cm và \( 81.28 \) cm.