Lý thuyết toán lớp 8 – Đa thức là gì, đa thức một biến là gì

Đa thức là một khái niệm quan trọng trong toán học, xuất hiện trong nhiều bài toán và ứng dụng thực tế. Nhưng liệu bạn đã hiểu rõ đa thức là gì, đa thức một biến là như thế nào, hay làm thế nào để xác định hệ số tự do và nghiệm của một đa thức? Hãy cùng tìm hiểu chi tiết các khái niệm này để có cái nhìn rõ hơn và nắm vững kiến thức cơ bản về đa thức.

Đa thức là gì?

Đa thức là một biểu thức toán học bao gồm các hạng tử, mỗi hạng tử là tích của một hệ số (gọi là hệ số) và một hoặc nhiều biến được nâng lên lũy thừa nguyên không âm. Các hạng tử trong một đa thức được kết hợp bằng phép cộng hoặc trừ.

Ví dụ

Xét hai đa thức sau:
Đa thức P(x) được cho bởi:
\[
P(x) = 2x^3 – 4x^2 + 3x – 5
\] có bậc là 3.

Đa thức Q(x) được cho bởi:
\[
Q(x) = 5x^2 + 2x + 1
\] có bậc là 2.

Đa thức một biến là gì?

Đa thức một biến là loại đa thức chỉ chứa một biến duy nhất. Trong đa thức này, các hạng tử có dạng ax^n trong đó a là hệ số, x là biến và n là số mũ nguyên không âm. Các hạng tử được kết hợp lại với nhau thông qua phép cộng hoặc trừ để tạo thành toàn bộ biểu thức. Đa thức một biến được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và ứng dụng thực tiễn bởi tính đơn giản nhưng đầy đủ để mô tả nhiều quá trình khác nhau.

Ví dụ

Dưới đây là hai ví dụ về đa thức một biến:
Đa thức P(x) được cho bởi:
\[
P(x) = x^3 – 2x^2 + 4x + 7
\]
Trong đó, x là biến và các số mũ của x là 3, 2, và 1. Hệ số tự do là 7.

Đa thức Q(t) được cho bởi:
\[
Q(t) = 3t^5 – 5t^3 + 2t – 1
\]
Trong đó, t là biến và các số mũ của t là 5, 3, và 1. Hệ số tự do là -1.

Hệ số tự do của đa thức là gì?

Hệ số tự do của một đa thức là hệ số không đi kèm với biến nào trong biểu thức toán học, tức là hạng tử của đa thức có bậc bằng 0. Hệ số này không phụ thuộc vào giá trị của biến và thường được xem là hệ số không đổi trong đa thức. Hệ số tự do cung cấp thông tin về giá trị của đa thức khi tất cả các biến bằng 0. Trong nhiều trường hợp, hệ số tự do có thể ảnh hưởng đến tính chất của đa thức, chẳng hạn như trong việc xác định điểm cắt với trục tung trong biểu đồ của hàm số.

Ví dụ về hệ số tự do
Xét đa thức \( P(x) = 2x^3 – 4x^2 + 3x – 5 \). Hệ số tự do ở đây là \(-5\).
\[
P(x) = 2x^3 – 4x^2 + 3x – 5, \quad \text{hệ số tự do là } -5.
\]

Xét đa thức \( Q(t) = 5t^2 + 3t + 1 \). Hệ số tự do ở đây là \(1\).
\[
Q(t) = 5t^2 + 3t + 1, \quad \text{hệ số tự do là } 1.
\]

Cùng tham khảo bài viết sau: “Lý thuyết toán lớp 8 – Đơn thức là gì? Cách thu gọn đơn thức”.

Nghiệm của đa thức là gì?

Nghiệm của một đa thức là giá trị của biến mà khi thay vào đa thức sẽ làm cho giá trị của đa thức bằng 0. Đa thức \(P(x\)) có nghiệm là r nếu và chỉ nếu \(P(x) = 0\). Nghiệm của đa thức có thể được tìm thông qua việc giải phương trình đa thức bằng các phương pháp như phân tích thành nhân tử, sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, hoặc các kỹ thuật giải phương trình cao cấp hơn.

Nghiệm của đa thức giúp ta hiểu rõ hơn về hành vi của đa thức tại những điểm đặc biệt, và cũng là cơ sở để phân tích các tính chất đồ thị của đa thức như điểm cắt với trục hoành. Biết được nghiệm của đa thức cũng giúp giải quyết các bài toán ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật và kinh tế, nơi mà việc tìm giá trị biến số thỏa mãn một số điều kiện nhất định là cần thiết.

Ví dụ:
Đa thức \(P(x) = x^2 – 4\) có nghiệm là \(x = 2\) và \(x = -2\) vì:
\[
P(2) = 2^2 – 4 = 4 – 4 = 0
\]
và
\[
P(-2) = (-2)^2 – 4 = 4 – 4 = 0.
\]

Đa thức \(Q(t) = t^2 – 5t + 6\) có nghiệm là \(t = 2\) và \(t = 3\) vì:
\[
Q(2) = 2^2 – 5 \cdot 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0
\]
và
\[
Q(3) = 3^2 – 5 \cdot 3 + 6 = 9 – 15 + 6 = 0.
\]

Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho một biểu thức, hãy xác định xem đó có phải là đa thức không? Nếu có, hãy chỉ ra các hạng tử, hệ số và bậc của đa thức.

Xét biểu thức \( 5x^3 – \frac{1}{2}x + 7 \).
Giải: Đây là một đa thức vì tất cả các hạng tử đều có bậc nguyên. Các hạng tử là \(5x^3\), \(-\frac{1}{2}x\), và \(7\). Hệ số lần lượt là \(5\), \(-\frac{1}{2}\), và \(7\). Bậc của đa thức là \(3\).

Bài 2 Thu gọn các đa thức sau.

a, \(x^2 – 5x + 6 + 3x^2 – 2x + 1\)
\[
x^2 – 5x + 6 + 3x^2 – 2x + 1 = 4x^2 – 7x + 7
\]
b, \(2xy – 3y^2 + xy + 5y^2\)
\[
2xy – 3y^2 + xy + 5y^2 = 3xy + 2y^2
\]

Bài 3 Tìm nghiệm của các đa thức sau.

a, \(x^2 – 4 = 0\)
\[
x^2 – 4 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) = 0 \Rightarrow x = \pm 2
\]
b, \(t^2 – 5t + 6 = 0\)
\[
t^2 – 5t + 6 = 0 \Rightarrow (t-2)(t-3) = 0 \Rightarrow t = 2, \, t = 3
\]

Bài 2 Cộng, trừ, nhân các đa thức.

Cộng: \((x^2 + x + 1) + (2x^2 – 3x + 4)\)
\[
(x^2 + x + 1) + (2x^2 – 3x + 4) = 3x^2 – 2x + 5
\]
Nhân: \((x – 1) \cdot (x + 1)\)
\[
(x – 1) \cdot (x + 1) = x^2 – 1
\]

Đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học, giúp mô tả nhiều hiện tượng tự nhiên và giải quyết các vấn đề toán học phức tạp. Hiểu rõ về đa thức, đa thức một biến, hệ số tự do và nghiệm của đa thức không chỉ giúp bạn nắm vững kiến thức cơ bản mà còn mở ra nhiều ứng dụng thực tế. Hãy luyện tập và nghiên cứu thêm để làm chủ các khái niệm này và ứng dụng chúng vào giải quyết các bài toán toán học và thực tế.