Lý thuyết toán lớp 8 – Chia đa thức cho đa thức

Chia đa thức là một trong những kỹ năng cơ bản và quan trọng trong toán học. Việc hiểu và áp dụng đúng cách chia đa thức không chỉ giúp giải quyết các bài toán phức tạp mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các kiến thức cao cấp hơn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về cách chia đa thức cho đa thức và cách chia đa thức cho đơn thức.

Chia đa thức cho đa thức

Chia đa thức cho đa thức là quá trình toán học, trong đó một đa thức gọi là số bị chia sẽ được phân chia bởi một đa thức khác được gọi là số chia. Kết quả của phép chia này bao gồm một thương và một số dư, tương tự như chia số nguyên, nhưng phức tạp hơn do bản chất đa biến và đa bậc của các đa thức.

Cách thực hiện:

Bước 1: Sắp xếp các hạng tử của cả đa thức bị chia và đa thức chia theo thứ tự giảm dần của bậc.
Bước 2: Lấy hạng tử đầu tiên của số bị chia chia cho hạng tử đầu tiên của số chia để tìm ra hạng tử đầu tiên của thương.
Bước 3: Nhân hạng tử đầu tiên của thương với toàn bộ số chia, rồi trừ kết quả này cho số bị chia để tìm phần dư tạm thời.
Bước 4: Lặp lại quá trình trên với phần dư tạm thời cho đến khi bậc của phần dư nhỏ hơn bậc của số chia hoặc bằng 0.

Ví dụ: Chia đa thức

Cho đa thức \(P(x) = x^3 – 4x^2 + 6x – 4\) chia cho đa thức \(Q(x) = x – 2\).

Bước 1: Xác định đa thức \(P(x)\):
\[
P(x) = x^3 – 4x^2 + 6x – 4
\]

Bước 2: Hạng tử đầu tiên của thương là:
\[
x^2 \quad \text{(chia hệ số cao nhất của \(P(x)\) cho hệ số cao nhất của \(Q(x)\))}
\]

Bước 3: Nhân \(x^2\) với \(Q(x)\):
\[
x^2 \cdot (x – 2) = x^3 – 2x^2
\]

Bước 4: Trừ kết quả khỏi \(P(x)\):
\[
(x^3 – 4x^2 + 6x – 4) – (x^3 – 2x^2) = -2x^2 + 6x – 4
\]

Bước 5: Lặp lại quá trình cho phần dư:
\[
-2x \text{ chia cho } x \text{ được } -2, \quad P(x) = (-2x^2 + 6x – 4) – (-2x \cdot (x – 2)) = 2x – 4
\]

Kết quả: Thương là \(x^2 – 2x\), dư là 0.
\[
\text{Kết quả cuối cùng: Thương là } x^2 – 2x, \text{ dư là } 0.
\]

Tham khảo bài viết sau: “Lý thuyết toán lớp 8 – Đa thức là gì, đa thức một biến là gì”.

Chia đa thức cho đơn thức

Chia đa thức cho đơn thức là quá trình toán học trong đó một đa thức được phân chia bởi một đơn thức. Đây là một phương pháp phổ biến trong đại số để đơn giản hóa các biểu thức đa thức bằng cách tách ra từng hạng tử của đa thức và chia cho một đơn thức. Kết quả của quá trình này là một thương, thường cũng là một đa thức.

Cách thực hiện:

Bước 1: Trước tiên, các hạng tử của đa thức bị chia cần được sắp xếp theo thứ tự giảm dần của bậc. Điều này không chỉ giúp quá trình tính toán trở nên rõ ràng và dễ theo dõi hơn mà còn đảm bảo rằng các hạng tử được xử lý một cách hệ thống từ cao xuống thấp.

Bước 2: Mỗi hạng tử của đa thức bị chia sẽ được chia lần lượt cho đơn thức. Để thực hiện mỗi phép chia này, ta cần chia các hệ số và trừ các lũy thừa tương ứng của biến số. Nếu đơn thức chia không chứa biến nào trong hạng tử đang xét, chỉ cần chia hệ số của hạng tử cho hệ số của đơn thức.

Bước 3: Sau khi mỗi hạng tử đã được chia riêng rẽ, kết quả của từng phép chia sẽ được tổng hợp lại để tạo thành thương cuối cùng. Thương này là tổng của tất cả các kết quả thu được từ từng hạng tử đã chia, và nó cũng là một đa thức mà bậc của nó không cao hơn bậc của đa thức bị chia.

Ví dụ: 

Cho đa thức \(P(x) = 6x^3 – 9x^2 + 3x\) chia cho đa thức \(Q(x) = 3x\).

Bước 1: Xác định đa thức \(P(x)\):
\[
P(x) = 6x^3 – 9x^2 + 3x
\]

Bước 2: Chia từng hạng tử của \(P(x)\) cho \(Q(x)\):
\( \frac{6x^3}{3x} = 2x^2 \)
\( \frac{-9x^2}{3x} = -3x \)
\( \frac{3x}{3x} = 1 \)

Kết quả: Thương là \(2x^2 – 3x + 1\).

Bài tập vận dụng

Bài tập 1 Chia các đa thức đơn giản

Chia \( P(x) = x^2 – 4 \) cho \( Q(x) = x – 2 \).
\[
\frac{x^2 – 4}{x – 2} = x + 2 \quad \text{(vì \(x^2 – 4\) là dạng bình phương của hiệu, tức là \((x-2)(x+2)\))}
\]

Bài tập 2 Chia các đa thức có bậc cao, đa thức có nhiều biến

Chia \( R(x, y) = x^3y^2 – 4x^2y^2 + 4xy – 8y \) cho \( S(x, y) = xy – 2y \).
\[
\frac{R(x, y)}{S(x, y)} = x^2y – 4x + 4 \quad \text{(chia từng hạng tử của \(R\) cho \(S\))}
\]

Bài toán 3 Kết hợp phép chia đa thức với các phép toán khác

Tính \( T(x) = \left( \frac{x^3 – 3x^2 + 2x}{x-1} \right) + 5x \).
\[
\frac{x^3 – 3x^2 + 2x}{x – 1} = x^2 – 2x + 2 \quad \text{(vì phép chia này bỏ đi \(x-1\) từ mỗi hạng tử)}
\]
\[
T(x) = (x^2 – 2x + 2) + 5x = x^2 + 3x + 2
\]

Việc chia đa thức cho đa thức và chia đa thức cho đơn thức là hai kỹ năng quan trọng trong toán học. Hiểu rõ và thành thạo các phương pháp này giúp giải quyết nhanh chóng các bài toán liên quan đến đa thức, từ đó củng cố nền tảng toán học vững chắc. Hãy tiếp tục rèn luyện và áp dụng những kiến thức này vào các bài tập thực tế để nâng cao kỹ năng của mình.