Toán 9 Kết nối tri thức 1: Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Khám phá thế giới của căn bậc hai và căn thức bậc hai trong chương trình Toán 9 không chỉ mở rộng kiến thức toán học mà còn giúp học sinh phát triển kỹ năng tư duy logic và phân tích. Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi sâu vào các khái niệm về căn bậc hai, cách tính và ứng dụng của chúng trong giải quyết các bài toán thực tế, giúp học sinh nắm vững và áp dụng hiệu quả trong học tập và cuộc sống.

Giải bài căn bậc hai và căn thức bậc hai

Bài 3.1 toán 9 sgk KNTT trang 48

Tìm căn bậc hai của mỗi số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

(a) \( 24.5 \);
(b) \( \frac{9}{10} \).

Giải:

(a) Căn bậc hai của \( 24.5 \):
\[
\sqrt{24.5} \approx 4.95.
\]

(b) Căn bậc hai của \( \frac{9}{10} \):
\[
\sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \approx 0.95.
\]

Kết quả:
\( \sqrt{24.5} \approx 4.95 \).
\( \sqrt{\frac{9}{10}} \approx 0.95 \).

Bài 3.2 toán 9 sgk KNTT trang 48

Để chuẩn bị trồng cây trên vỉa hè, người ta để lại những ô đất hình tròn có diện tích khoảng \( 2 \, \text{m}^2 \). Em hãy ước lượng (với độ chính xác 0,005) đường kính của các ô đất đó khoảng bao nhiêu mét?

Giải:

Gọi \( d \) là đường kính của ô đất hình tròn. Diện tích hình tròn được tính bằng công thức:
\[
S = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2.
\]

Biết rằng diện tích \( S = 2 \, \text{m}^2 \), ta có phương trình:
\[
2 = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2.
\]

Giải phương trình trên:
\[
\left( \frac{d}{2} \right)^2 = \frac{2}{\pi},
\]
\[
\frac{d}{2} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}.
\]

Suy ra:
\[
d = 2 \times \sqrt{\frac{2}{\pi}}.
\]

Tính toán:
\[
d \approx 2 \times \sqrt{\frac{2}{3.1416}} \approx 2 \times 0.797885 \approx 1.59577 \, \text{m}.
\]

Làm tròn đến ba chữ số thập phân:
\[
d \approx 1.60 \, \text{m}.
\]

Kết luận: Đường kính của ô đất hình tròn ước lượng khoảng \( 1.60 \, \text{m} \) với độ chính xác 0,005.

Bài 3.3 toán 9 sgk KNTT trang 48

Tìm điều kiện xác định của \( \sqrt{x + 10} \) và tính giá trị của căn thức tại \( x = -1 \).

Giải:

Điều kiện xác định:

Biểu thức \( \sqrt{x + 10} \) xác định khi biểu thức bên trong căn không âm, tức là:
\[
x + 10 \geq 0.
\]

Giải bất phương trình:
\[
x \geq -10.
\]

Vậy điều kiện xác định của \( \sqrt{x + 10} \) là:
\[
x \geq -10.
\]

Tính giá trị của căn thức tại \( x = -1 \):

Thay \( x = -1 \) vào biểu thức:
\[
\sqrt{-1 + 10} = \sqrt{9} = 3.
\]

Vậy giá trị của căn thức tại \( x = -1 \) là \( 3 \).

Kết luận: Điều kiện xác định của căn thức là \( x \geq -10 \), và giá trị của căn thức tại \( x = -1 \) là \( 3 \).

Xem thêm: “Toán 9 Kết nối tri thức 1: Bài tập cuối chương 2 trang 42“.

Bài 3.4 toán 9 sgk KNTT trang 48

Tính các giá trị sau:

\[
\sqrt{5.1^2}, \quad \sqrt{(-4.9)^2}, \quad -\sqrt{(-0.001)^2}.
\]

Giải:

(a) Tính \( \sqrt{5.1^2} \):
\[
\sqrt{5.1^2} = 5.1.
\]

(b) Tính \( \sqrt{(-4.9)^2} \):
\[
\sqrt{(-4.9)^2} = 4.9.
\]

(c) Tính \( -\sqrt{(-0.001)^2} \):
\[
-\sqrt{(-0.001)^2} = -0.001.
\]

Kết quả:
\( \sqrt{5.1^2} = 5.1 \).
\( \sqrt{(-4.9)^2} = 4.9 \).
\( -\sqrt{(-0.001)^2} = -0.001 \).

Bài 3.5 toán 9 sgk KNTT trang 48

Rút gọn các biểu thức sau:

(a) \( \sqrt{(2 – \sqrt{5})^2} \);
(b) \( \frac{3\sqrt{x^2} – x + 1}{x} \quad (x < 0) \);
(c) \( \sqrt{x^2 – 4x + 4} \quad (x < 2) \).

Giải:

(a) Rút gọn biểu thức \( \sqrt{(2 – \sqrt{5})^2} \):
\[
\sqrt{(2 – \sqrt{5})^2} = |2 – \sqrt{5}| = 2 – \sqrt{5}.
\]

(b) Rút gọn biểu thức \( \frac{3\sqrt{x^2} – x + 1}{x} \):

Biết rằng \( x < 0 \), ta có \( \sqrt{x^2} = -x \). Do đó, biểu thức trở thành:
\[
\frac{3(-x) – x + 1}{x} = \frac{-3x – x + 1}{x} = -4 + \frac{1}{x}.
\]

(c) Rút gọn biểu thức \( \sqrt{x^2 – 4x + 4} \):

Nhận xét rằng \( x^2 – 4x + 4 \) là một hằng đẳng thức:
\[
x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2.
\]

Vậy biểu thức trở thành:
\[
\sqrt{(x – 2)^2} = |x – 2|.
\]

Với điều kiện \( x < 2 \), ta có \( |x – 2| = 2 – x \). Do đó, biểu thức rút gọn là:
\[
2 – x.
\]

Kết quả:
(a) \( \sqrt{(2 – \sqrt{5})^2} = 2 – \sqrt{5} \).
(b) \( \frac{3\sqrt{x^2} – x + 1}{x} = -4 + \frac{1}{x} \) (với \( x < 0 \)).
(c) \( \sqrt{x^2 – 4x + 4} = 2 – x \) (với \( x < 2 \)).

Bài 3.6 toán 9 sgk KNTT trang 48

Không dùng máy tính cầm tay, chứng tỏ biểu thức \( A \) có giá trị là số nguyên:

\[
A = \sqrt{(1 + 2\sqrt{2})^2} – \sqrt{(1 – 2\sqrt{2})^2}.
\]

Giải:

Rút gọn từng phần của biểu thức:

(a) Rút gọn \( \sqrt{(1 + 2\sqrt{2})^2} \):
\[
\sqrt{(1 + 2\sqrt{2})^2} = |1 + 2\sqrt{2}| = 1 + 2\sqrt{2}.
\]

(b) Rút gọn \( \sqrt{(1 – 2\sqrt{2})^2} \):
\[
\sqrt{(1 – 2\sqrt{2})^2} = |1 – 2\sqrt{2}| = 2\sqrt{2} – 1.
\]

(c) Tính giá trị của \( A \):
\[
A = (1 + 2\sqrt{2}) – (2\sqrt{2} – 1).
\]
Rút gọn biểu thức:
\[
A = 1 + 2\sqrt{2} – 2\sqrt{2} + 1 = 2.
\]

Kết luận: Biểu thức \( A \) có giá trị là một số nguyên, cụ thể là \( A = 2 \).