Toán 9 Kết nối tri thức 1: Biến đổi đơn giản và rút gọn…

Biến đổi đơn giản và rút gọn… là những kỹ năng toán học cơ bản mà mọi học sinh lớp 9 cần thành thạo để giải quyết các bài toán hiệu quả. Trong chương này của sách giáo khoa Toán 9 Kết nối tri thức, chúng ta sẽ đi sâu vào các phương pháp biến đổi và rút gọn, từ đó giúp học sinh phát triển tư duy phân tích và khả năng áp dụng linh hoạt các công thức trong các tình huống toán học khác nhau. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết các bước thực hiện, qua đó nâng cao khả năng giải toán và sự tự tin của học sinh trong môn học này.

Giải bài biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 3.17 toán 9 sgk KNTT trang 59

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a) \(\sqrt{75}\)
b) \(\sqrt{27a} \quad (a \geq 0)\)
c) \(\sqrt{50\sqrt{2} + 100}\)
d) \(\sqrt{9\sqrt{5} – 18}\)

Giải:

a) \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\).

b) \(\sqrt{27a} = \sqrt{9 \times 3 \times a} = 3\sqrt{3a}\).

c) Ta chưa thể rút gọn thêm biểu thức \(\sqrt{50\sqrt{2} + 100}\), vì vậy để nguyên.

d) \(\sqrt{9\sqrt{5} – 18}\): Biểu thức không thể đưa thừa số ra ngoài dấu căn, vì không có cách phân tích thuận tiện.

Bài 3.18 toán 9 sgk KNTT trang 59

Đưa thừa số vào trong dấu căn:
a) \(3\sqrt{2}\)
b) \(-2\sqrt{7}\)
c) \(4\sqrt{\frac{15}{2}}\)
d) \(-5\sqrt{\frac{16}{5}}\)

Giải:

a) \(3\sqrt{2} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{18}\).

b) \(-2\sqrt{7} = -\sqrt{4 \times 7} = -\sqrt{28}\).

c) \(4\sqrt{\frac{15}{2}} = \sqrt{16 \times \frac{15}{2}} = \sqrt{\frac{240}{2}} = \sqrt{120}\).

d) \(-5\sqrt{\frac{16}{5}} = -\sqrt{25 \times \frac{16}{5}} = -\sqrt{\frac{400}{5}} = -\sqrt{80}\).

Bài 3.19 toán 9 sgk KNTT trang 59

Khử mẫu trong dấu căn:
a) \( 2a \cdot \sqrt{\frac{3}{5}} \)
b) \( -3x \cdot \sqrt{\frac{5}{x}} \quad (x > 0) \)
c) \( -\sqrt{\frac{3a}{b}} \quad (a \geq 0, b > 0) \)

Giải:

a) \( 2a \cdot \sqrt{\frac{3}{5}} = 2a \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{2a \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2a \cdot \sqrt{15}}{5} \).

b) \( -3x \cdot \sqrt{\frac{5}{x}} = -3x \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}} = -3x \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}} = -3 \sqrt{5x} \).

c) \( -\sqrt{\frac{3a}{b}} = -\frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = -\frac{\sqrt{3ab}}{b} \).

Cùng tham khảo bài giải sau: “Toán 9 Kết nối tri thức 1: Luyện tập chung trang 53“.

Bài 3.20 toán 9 sgk KNTT trang 59

Trục căn thức ở mẫu:

a) \( \frac{4 + 3 \sqrt{5}}{\sqrt{5}} \)
b) \( \frac{1}{\sqrt{5} – 2} \)
c) \( \frac{3 + \sqrt{3}}{1 – \sqrt{3}} \)
d) \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \)

Giải:

a) \( \frac{4 + 3 \sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} + 3 = \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + 3 = \frac{4 \sqrt{5}}{5} + 3 \).

b) \( \frac{1}{\sqrt{5} – 2} = \frac{1}{\sqrt{5} – 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5})^2 – 4} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 – 4} = \sqrt{5} + 2 \).

c) \( \frac{3 + \sqrt{3}}{1 – \sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{1 – \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1)^2 – (\sqrt{3})^2} = \frac{(3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3)}{1 – 3} = -\frac{3 + 4 \sqrt{3}}{2} \).

d) \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} – \sqrt{2}}{\sqrt{3} – \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} – \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 – (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} – \sqrt{2})}{3 – 2} = \sqrt{2} (\sqrt{3} – \sqrt{2}) \).

Bài 3.21 toán 9 sgk KNTT trang 59

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \( 2 \sqrt{\frac{2}{3}} – 4 \sqrt{\frac{3}{2}} \)
b) \( \frac{5\sqrt{48} – 3\sqrt{27} + 2\sqrt{12}}{\sqrt{3}} \)
c) \( \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} + \frac{4\sqrt{2} – 4}{2 – \sqrt{2}} \)

Giải:

a) \( 2 \sqrt{\frac{2}{3}} – 4 \sqrt{\frac{3}{2}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} – 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} – \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \).

b) \( \frac{5\sqrt{48} – 3\sqrt{27} + 2\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot 4\sqrt{3} – 3 \cdot 3\sqrt{3} + 2 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3} – 9\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 15 \).

c) \( \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} + \frac{4\sqrt{2} – 4}{2 – \sqrt{2}} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} \cdot \frac{3 – 2\sqrt{2}}{3 – 2\sqrt{2}} + \frac{4(\sqrt{2} – 1)}{(2 – \sqrt{2})} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \).

Bài 3.22 toán 9 sgk KNTT trang 59

Rút gọn biểu thức \( A \) được cho bởi:
\[
A = \sqrt{x} \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 3} – \frac{1}{3 – \sqrt{x}} \right) \quad (x \geq 0, x \neq 9).
\]

Giải:

Trước hết, ta thực hiện phép trừ hai phân số:
\[
\frac{1}{\sqrt{x} + 3} – \frac{1}{3 – \sqrt{x}} = \frac{(3 – \sqrt{x}) – (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)(3 – \sqrt{x})}.
\]

Kết quả phép trừ tử số:
\[
(3 – \sqrt{x}) – (\sqrt{x} + 3) = 3 – \sqrt{x} – \sqrt{x} – 3 = -2\sqrt{x}.
\]

Do đó, biểu thức trở thành:
\[
\frac{-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 3)(3 – \sqrt{x})}.
\]

Nhân tử thức và mẫu số:
\[
(\sqrt{x} + 3)(3 – \sqrt{x}) = 9 – x.
\]

Do đó, biểu thức đơn giản hóa thành:
\[
\frac{-2\sqrt{x}}{9 – x}.
\]

Biểu thức \( A \) trở thành:
\[
A = \sqrt{x} \cdot \frac{-2\sqrt{x}}{9 – x} = \frac{-2x}{9 – x}.
\]

Vậy biểu thức rút gọn của \( A \) là:
\[
A = \frac{-2x}{9 – x}.
\]