Toán 9 Kết nối tri thức 1: Bài tập cuối chương 2 trang 42

Kết thúc Chương 2 trong sách ‘Toán 9 Kết nối tri thức’, phần bài tập cuối chương là cơ hội để học sinh ôn tập và củng cố những kiến thức đã học. Qua các bài tập tổng hợp này, các em sẽ được thử thách với các vấn đề toán học đa dạng, từ đó nâng cao khả năng tư duy, phân tích và áp dụng kiến thức vào giải quyết các tình huống thực tế. Đây là bước chuẩn bị quan trọng giúp học sinh tự tin hơn trong các bài kiểm tra và đánh giá sắp tới.

Giải các bài tập cuối chương 2

Bài 2.21 toán 9 sgk KNTT trang 42

Giải bất phương trình \(-2x + 1 < 0\).

Giải:

Chúng ta bắt đầu bằng cách sắp xếp lại bất phương trình:
\[
-2x + 1 < 0
\]
Trừ 1 từ cả hai vế:
\[
-2x < -1
\]
Chia cả hai vế cho \(-2\) (lưu ý rằng dấu của bất đẳng thức sẽ đảo ngược khi chia cho một số âm):
\[
x > \frac{1}{2}
\]

Nghiệm của bất phương trình là \(x > \frac{1}{2}\). Đáp án đúng là B.

Bài 2.22 toán 9 sgk KNTT trang 42

Điều kiện xác định của phương trình

\[
\frac{x}{2x + 1} + \frac{3}{x – 5} = \frac{x}{(2x + 1)(x – 5)}
\]

là:

A. \(x \neq -\frac{1}{2}\)
B. \(x \neq -\frac{1}{2} \text{ và } x \neq -5\)
C. \(x \neq 5\)
D. \(x \neq -\frac{1}{2} \text{ và } x \neq 5\)

Giải:

Phương trình có chứa các mẫu số (2x + 1) và (x – 5). Để phương trình xác định thì các mẫu số phải khác 0:

\[
2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2},
\]
\[
x – 5 \neq 0 \implies x \neq 5.
\]

Vậy điều kiện xác định của phương trình là:

\[
x \neq -\frac{1}{2} \text{ và } x \neq 5.
\]

Chọn đáp án D.

Bài 2.23 toán 9 sgk KNTT trang 42

Phương trình x – 1 = m + 4 có nghiệm lớn hơn 1 với:

A. m ≥ –4.

B. m ≤ 4.

C. m > –4.

D. m < –4.

Giải:

Ta có phương trình x – 1 = m + 4.

Để phương trình có nghiệm x lớn hơn 1, ta giải bất phương trình:

\[
x – 1 > 1
\]

Khi đó:

\[
x > 2
\]

Thay x > 2 vào phương trình x – 1 = m + 4, ta được:

\[
2 – 1 > m + 4
\]

Suy ra:

\[
1 > m + 4
\]

Từ đó:

\[
1 – 4 > m \implies -3 > m
\]

Vậy:

\[
m < -3
\]

Chọn đáp án D. m < -4.

Bài 2.24 toán 9 sgk KNTT trang 42

Giải bất phương trình \(1 – 2x \geq 2 – x\).

A. $x>\frac{\mathrm{1/}}{2}.$

B. $x<\frac{\mathrm{1/}}{2}.$

C. x ≤ –1.

D. x ≥ –1.

Giải:

Bắt đầu bằng cách thu gọn bất phương trình:
\begin{align*}
1 – 2x &\geq 2 – x \\
-2x + x &\geq 2 – 1 \\
-x &\geq 1
\end{align*}

Chia cả hai vế cho \(-1\) và đảo dấu bất đẳng thức:
\begin{align*}
x &\leq -1
\end{align*}

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \leq -1\).

Đáp án: C. \(x \leq -1\).

Bài 2.25 toán 9 sgk KNTT trang 42

Cho \( a > b \). Khi đó ta có:
A. \( 2a > 3b \)
B. \( 2a > 2b + 1 \)
C. \( 5a + 1 > 5b + 1 \)
D. \( -3a < -3b – 3 \)

Giải:

Vì \( a > b \), ta có thể nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số dương mà không đổi chiều bất đẳng thức:
Nhân với 2: \( 2a > 2b \)
Nhân với 3: \( 3a > 3b \)
Nhân với 5: \( 5a > 5b \)

Kiểm tra các phương án:

A. \( 2a > 3b \): Chưa chắc chắn vì từ \( 2a > 2b \), không suy ra \( 2a > 3b \).
B. \( 2a > 2b + 1 \): Đúng vì \( 2a > 2b \) và thêm 1 vào vế phải không làm thay đổi bất đẳng thức.
C. \( 5a + 1 > 5b + 1 \): Đúng vì \( 5a > 5b \) và cộng thêm 1 vào cả hai vế không làm thay đổi bất đẳng thức.
D. \( -3a < -3b – 3 \): Sai vì khi nhân cả hai vế với -3 ta được \( -3a > -3b \), và trừ 3 không làm thay đổi chiều của bất đẳng thức.

Đáp án: Các phương án B và C đều đúng.

Bài 2.26 toán 9 sgk KNTT trang 42

Giải các phương trình sau:
(a) \( (3x – 1)^2 – (x + 2)^2 = 0 \)
(b) \( x(x + 1) = 2(x^2 – 1) \)

Giải:

(a) Sử dụng công thức hiệu hai bình phương:
\[
(3x – 1)^2 – (x + 2)^2 = (3x – 1 – (x + 2))(3x – 1 + (x + 2)) = 0
\]
Phân tích:
\[
(2x – 3)(4x – 1) = 0
\]
Tìm nghiệm:
\[
2x – 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \quad \text{hoặc} \quad 4x – 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4}
\]

(b) Đưa phương trình về dạng đơn giản:
\[
x^2 + x = 2x^2 – 2
\]
Sắp xếp lại:
\[
x^2 – x – 2 = 0
\]
Phân tích thành nhân tử:
\[
(x – 2)(x + 1) = 0
\]
Tìm nghiệm:
\[
x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1
\]

Đáp án:
(a) \( x = \frac{3}{2} \) hoặc \( x = \frac{1}{4} \)
(b) \( x = 2 \) hoặc \( x = -1 \)

Bài 2.27 toán 9 sgk KNTT trang 42

Giải các phương trình sau:
(a) \(\frac{x}{x-5} – \frac{2}{x+5} = \frac{x^2}{x^2-25}\)
(b) \(\frac{1}{x+1} – \frac{x}{x^2 – x + 1} = \frac{3}{x^3+1}\)

Giải:

(a) Đặt mẫu chung và giải:
\[
\frac{x(x+5) – 2(x-5)}{x^2 – 25} = \frac{x^2}{x^2 – 25}
\]
\[
\frac{x^2 + 3x + 10}{x^2 – 25} = \frac{x^2}{x^2 – 25}
\]
\[
x^2 + 3x + 10 = x^2 \Rightarrow x = -\frac{10}{3}
\]

(b) Đặt mẫu chung và giải:
\[
\frac{(x^2 – x + 1) – x(x+1)}{x^3 + 1} = \frac{3}{x^3 + 1}
\]
\[
\frac{-2x + 1}{x^3 + 1} = \frac{3}{x^3 + 1} \Rightarrow x = -1
\]

Đáp án:
(a) \( x = -\frac{10}{3} \)
(b) \( x = -1 \)

Xem thêm bài viết: “Toán 9 Kết nối tri thức 1: Bất phương trình bậc nhất một ẩn“.

Bài 2.28 toán 9 sgk KNTT trang 42

Cho \( a < b \), hãy so sánh:

(a) \( a + b + 5 \) và \( 2b + 5 \)
(b) \( -2a – 3 \) và \( -a + b – 3 \)

Giải:

(a) So sánh \( a + b + 5 \) và \( 2b + 5 \):
\[
a + b + 5 \quad \text{và} \quad 2b + 5
\]
\[
\text{Rút gọn:} \quad a + b + 5 < 2b + 5 \quad \text{khi} \quad a < b
\]
\[
\text{Vậy:} \quad a + b + 5 < 2b + 5
\]

(b) So sánh \( -2a – 3 \) và \( -a + b – 3 \):
\[
-2a – 3 \quad \text{và} \quad -a + b – 3
\]
\[
\text{Biến đổi:} \quad -2a – 3 > -a + b – 3 \quad \text{để chứng minh}
\]
\[
\text{Điều kiện:} \quad -a > b \quad \text{điều này sai vì} \quad a < b
\]
\[
\text{Vậy:} \quad -2a – 3 < -a + b – 3
\]

Kết luận:
(a) \( a + b + 5 < 2b + 5 \)
(b) \( -2a – 3 < -a + b – 3 \)

Bài 2.29 toán 9 sgk KNTT trang 42

Giải các bất phương trình sau:
(a) \( 2x + 3(x + 1) > 5x – (2x – 4) \)
(b) \( (x + 1)(2x – 1) < 2x^2 – 4x + 1 \)

Giải:

(a) Đầu tiên, hãy giải bất phương trình:
\[
2x + 3x + 3 > 5x – 2x + 4
\]
\[
5x + 3 > 3x + 4
\]
\[
2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2}
\]

(b) Tiếp theo, hãy giải bất phương trình:
\[
2x^2 – x + x – 1 < 2x^2 – 4x + 1
\]
\[
-x – 1 < -4x + 1
\]
\[
3x > -2 \Rightarrow x > -\frac{2}{3}
\]

(a) \( x > \frac{1}{2} \)
(b) \( x > -\frac{2}{3} \)

Bài 2.30 toán 9 sgk KNTT trang 42

Một hãng viễn thông nước ngoài có hai gói cước như sau:

Giải:

(a) Hãy viết một phương trình xác định thời gian gọi (phút) mà phí phải trả trong cùng một tháng của hai gói cước là như nhau và giải phương trình đó.

Giả sử số phút gọi thêm là \(x\) phút.

Gói cước A:
\[
\text{Chi phí hàng tháng} = 32 + 0,4 \times \max(x – 45, 0)
\]

Gói cước B:
\[
\text{Chi phí hàng tháng} = 44 + 0,25x
\]

Để tìm điểm mà chi phí của hai gói cước bằng nhau, ta giải phương trình:
\[
32 + 0,4 \times \max(x – 45, 0) = 44 + 0,25x
\]

Trường hợp 1: \(x \leq 45\)
\[
32 = 44 + 0,25x
\]
\[
0,25x = -12 \quad \text{(Vô lý, nên không có nghiệm trong trường hợp này)}
\]

Trường hợp 2: \(x > 45\)
\[
32 + 0,4(x – 45) = 44 + 0,25x
\]
\[
32 + 0,4x – 18 = 44 + 0,25x
\]
\[
0,4x – 0,25x = 44 – 14
\]
\[
0,15x = 26
\]
\[
x = \frac{26}{0,15} \approx 173,33
\]

Vậy, nếu số phút gọi thêm lớn hơn 173,33 phút thì gói cước B sẽ rẻ hơn gói cước A.

(b) Nếu khách hàng chỉ gọi tối đa là 180 phút trong 1 tháng thì nên dùng gói cước nào? Nếu khách hàng gọi 500 phút trong 1 tháng thì nên dùng gói cước nào?

Giải:

Trường hợp gọi 180 phút:
Gói cước A:
\[
\text{Chi phí hàng tháng} = 32 + 0,4 \times (180 – 45) = 32 + 0,4 \times 135 = 32 + 54 = 86 \text{ USD}
\]

Gói cước B:
\[
\text{Chi phí hàng tháng} = 44 + 0,25 \times 180 = 44 + 45 = 89 \text{ USD}
\]
Vì vậy, nếu khách hàng gọi tối đa là 180 phút trong 1 tháng thì nên dùng gói cước A.

Trường hợp gọi 500 phút:
Gói cước A:
\[
\text{Chi phí hàng tháng} = 32 + 0,4 \times (500 – 45) = 32 + 0,4 \times 455 = 32 + 182 = 214 \text{ USD}
\]

Gói cước B:
\[
\text{Chi phí hàng tháng} = 44 + 0,25 \times 500 = 44 + 125 = 169 \text{ USD}
\]
Vì vậy, nếu khách hàng gọi 500 phút trong 1 tháng thì nên dùng gói cước B.

Bài 2.31 toán 9 sgk KNTT trang 43

Thanh tham dự một kì kiểm tra năng lực tiếng Anh gồm 4 bài kiểm tra nghe, nói, đọc và viết. Mỗi bài kiểm tra có điểm là số nguyên từ 0 đến 10. Điểm trung bình của ba bài kiểm tra nghe, nói, đọc của Thanh là 6,7. Hỏi bài kiểm tra viết của Thanh cần được bao nhiêu điểm để điểm trung bình cả 4 bài kiểm tra được từ 7,0 trở lên? Biết điểm trung bình được tính gần đúng đến chữ số thập phân thứ nhất.

Giải:

Gọi \( x \) là điểm bài kiểm tra viết của Thanh.

Tổng điểm của ba bài kiểm tra nghe, nói, đọc là:
\[
\frac{a + b + c}{3} = 6,7 \Rightarrow a + b + c = 6,7 \times 3 = 20
\]

Điểm trung bình của cả 4 bài kiểm tra cần đạt ít nhất 7,0:
\[
\frac{a + b + c + x}{4} \geq 7,0
\]

Thay giá trị của \( a + b + c \):
\[
\frac{20 + x}{4} \geq 7,0
\]

Giải bất phương trình trên:
\[
20 + x \geq 28
\]
\[
x \geq 28 – 20
\]
\[
x \geq 7,0
\]

Vậy, bài kiểm tra viết của Thanh cần đạt ít nhất 7,0 điểm để điểm trung bình của cả 4 bài kiểm tra được từ 7,0 trở lên.

Kết luận: Điểm bài kiểm tra viết của Thanh cần ít nhất là 7,0.

Bài 2.32 toán 9 sgk KNTT trang 43

Để lập đội tuyển năng khiếu về bóng rổ của trường, thầy thể dục đưa ra quy định tuyển chọn như sau: mỗi bạn dự tuyển sẽ được ném 15 quả bóng vào rổ; quả bóng vào rổ được cộng 2 điểm; quả bóng ném ra ngoài bị trừ 1 điểm. Nếu bạn nào có số điểm từ 15 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển. Hỏi một học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì phải ném ít nhất bao nhiêu quả vào rổ?

Giải:

Gọi \( x \) là số quả bóng vào rổ.

Số quả bóng ra ngoài là \( 15 – x \).

Điểm số được tính theo công thức:
\[
\text{Điểm số} = 2x – (15 – x)
\]

Điều kiện để được chọn vào đội tuyển:
\[
2x – (15 – x) \geq 15
\]

Giải bất phương trình trên:
\[
2x – 15 + x \geq 15
\]
\[
3x – 15 \geq 15
\]
\[
3x \geq 30
\]
\[
x \geq 10
\]

Vậy, một học sinh cần ném ít nhất 10 quả vào rổ để được chọn vào đội tuyển.

Kết luận: Học sinh cần ném ít nhất 10 quả vào rổ.