Cách xác định và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất lớp 9

Hàm số bậc nhất là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Hiểu rõ về hàm số bậc nhất không chỉ giúp bạn giải quyết được nhiều bài toán mà còn là nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học cao hơn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức chi tiết về hàm số bậc nhất, cách xác định và vẽ đồ thị, cùng các bài tập cụ thể.

Hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là gì?

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng tổng quát:
\[
y = ax + b
\]
Trong đó:
\(a\) và \(b\) là các hằng số (trong đó \(a \neq 0\)).
\(x\) là biến số.

Hàm số bậc nhất là gì?

Đặc điểm của hàm số bậc nhất:

Bậc của hàm số: Hàm số bậc nhất có biến số \(x\) với lũy thừa cao nhất là 1.
Hệ số \(a\): Quyết định độ dốc (độ nghiêng) của đồ thị hàm số. Hệ số \(a\) càng lớn, độ dốc của đồ thị càng cao.
Hệ số \(b\): Quyết định giao điểm của đồ thị với trục tung (trục \(y\)). Điểm cắt này cho biết giá trị của \(y\) khi \(x = 0\).
Ví dụ về hàm số bậc nhất:
\(y = 2x + 3\)
\(y = -x + 4\)
\(y = 5x – 7\)

Đồ thị hàm số bậc nhất

Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng. Dựa vào hệ số \(a\) và \(b\), ta có thể xác định được vị trí và độ dốc của đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.

Các tính chất của đồ thị hàm số bậc nhất:
Nếu \(a > 0\): Đồ thị là một đường thẳng dốc lên (tăng từ trái sang phải).
Nếu \(a < 0\): Đồ thị là một đường thẳng dốc xuống (giảm từ trái sang phải).
Điểm cắt trục tung: Đồ thị cắt trục \(y\) tại điểm \((0, b)\).

Xác định hàm số bậc nhất \(y = ax + b\)

Để xác định hàm số bậc nhất, chúng ta cần biết hai yếu tố:

Độ dốc của đường thẳng (hệ số \(a\)): Độ dốc quyết định hướng và tốc độ thay đổi của đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ. Hệ số \(a\) cho biết mỗi khi \(x\) tăng lên 1 đơn vị, \(y\) sẽ thay đổi bao nhiêu.
Giao điểm của đồ thị với trục tung (hệ số \(b\)): Điểm này cho biết giá trị của \(y\) khi \(x = 0\). Đây là điểm mà đồ thị cắt trục tung.

Các bước xác định hàm số bậc nhất

Để xác định hàm số bậc nhất, chúng ta cần biết hai yếu tố:

Bước 1: Xác định hệ số \(a\): Tính độ dốc bằng cách lấy tỉ số của sự thay đổi \(y\) và sự thay đổi \(x\) giữa hai điểm bất kỳ trên đường thẳng.
\[
a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}
\]

Bước 2: Xác định hệ số \(b\): Thay tọa độ một điểm thuộc đồ thị vào phương trình \(y = ax + b\) để tìm \(b\).
Ví dụ:
Cho đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A(1, 2)\) và \(B(3, 6)\). Xác định hàm số bậc nhất.

Bước 1: Tính hệ số \(a\):
\[
a = \frac{6 – 2}{3 – 1} = \frac{4}{2} = 2
\]

Bước 2: Thay tọa độ điểm \(A(1, 2)\) vào phương trình \(y = 2x + b\):
\[
2 = 2 \times 1 + b \implies b = 0
\]

Vậy hàm số cần tìm là \(y = 2x\).

Xác định hàm số bậc nhất \(y = ax + b\)

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Để vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất \(y = ax + b\), bạn cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định giao điểm với trục tung: Cho \(x = 0\), tính giá trị của \(y = b\). Điểm này có tọa độ là \((0, b)\).
Bước 2: Xác định thêm một điểm trên đồ thị: Chọn một giá trị bất kỳ của \(x\), tính giá trị tương ứng của \(y\).
Bước 3: Nối hai điểm vừa tìm được bằng một đường thẳng: Đó là đồ thị của hàm số bậc nhất.

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2x + 1\)
Bước 1: Cho \(x = 0\), ta có \(y = 1\). Vậy điểm \(A(0, 1)\) thuộc đồ thị.
Bước 2: Cho \(x = 2\), ta có \(y = 2 \times 2 + 1 = 5\). Vậy điểm \(B(2, 5)\) cũng thuộc đồ thị.
Bước 3: Nối điểm \(A(0, 1)\) và \(B(2, 5)\) bằng một đường thẳng. Đó là đồ thị của hàm số.

Bài tập hàm số bậc nhất lớp 9

Bài tập 1: Xác định hàm số bậc nhất

Cho hai điểm \(A(2, 3)\) và \(B(4, 7)\). Hãy xác định hàm số bậc nhất đi qua hai điểm này.

Tính hệ số \(a\):
Tính độ dốc \(a\) bằng cách lấy tỉ số của sự thay đổi \(y\) so với sự thay đổi \(x\) giữa hai điểm \(A\) và \(B\).
\[
a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{4 – 2} = \frac{4}{2} = 2
\]

Sử dụng tọa độ điểm \(A(2, 3)\) để tìm hệ số \(b\):
Thay \(x = 2\) và \(y = 3\) vào phương trình \(y = ax + b\):
\[
3 = 2 \times 2 + b \implies b = 3 – 4 = -1
\]
Vậy hàm số cần tìm là \(y = 2x – 1\).

Bài tập 2: Vẽ đồ thị hàm số

Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
\(y = -x + 3\)
\(y = 3x – 2\)

Hướng dẫn:
Tìm hai điểm thuộc đồ thị và nối hai điểm này lại để có được đường thẳng biểu diễn hàm số.

Ví dụ thực hành:
Đối với \(y = -x + 3\):
Chọn \(x = 0\), tính \(y\): \(y = -0 + 3 = 3\). Điểm thuộc đồ thị: \((0, 3)\).
Chọn \(x = 1\), tính \(y\): \(y = -1 + 3 = 2\). Điểm thuộc đồ thị: \((1, 2)\).
Nối điểm \((0, 3)\) và \((1, 2)\).
Đối với \(y = 3x – 2\):
Chọn \(x = 0\), tính \(y\): \(y = 3 \times 0 – 2 = -2\). Điểm thuộc đồ thị: \((0, -2)\).
Chọn \(x = 1\), tính \(y\): \(y = 3 \times 1 – 2 = 1\). Điểm thuộc đồ thị: \((1, 1)\).
Nối điểm \((0, -2)\) và \((1, 1)\).

Bài tập 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị

Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = 2x + 1\) và \(y = -x + 4\).

Hướng dẫn:
Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
y = 2x + 1 \\
y = -x + 4
\end{cases}
\]
Từ đó, tìm được \(x\) và \(y\), tức là tọa độ giao điểm.
Giải pháp:
Đặt hai phương trình bằng nhau để tìm \(x\):
\[
2x + 1 = -x + 4
\]
\[
3x = 3 \Rightarrow x = 1
\]
Thay \(x = 1\) vào một trong hai phương trình để tìm \(y\):
\[
y = 2 \times 1 + 1 = 3
\]
Vậy giao điểm của hai đồ thị là điểm \( (1, 3) \).

Xem thêm: “Diện tích hình thoi là gì? Cách tính diện tích và chu vi”.