Toán 9 Kết nối tri thức 1: Phương trình…bậc nhất một ẩn

Toán học lớp 9, chúng ta sẽ khám phá Phương trình…bậc nhất một ẩn trong sách ‘Kết nối tri thức’. Phần học này giới thiệu cách thiết lập và giải các phương trình đơn giản nhưng cực kỳ quan trọng, là nền tảng cho nhiều chủ đề toán học phức tạp hơn. Các em học sinh sẽ học cách phân tích và giải quyết các vấn đề thông qua các phương trình, một kỹ năng thiết yếu cho sự thành công trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và kinh tế.

Giải bài phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 2.1 toán 9 sgk KNTT trang 30

Giải các phương trình sau:

a) x(x – 2) = 0;

b) (2x + 1)(3x – 2) = 0.

Giải:

a) Phương trình \( x(x – 2) = 0 \):

Phương trình được đưa về dạng tích: \( x = 0 \) hoặc \( x – 2 = 0 \).

Do đó, nghiệm của phương trình là:
\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2.
\]

b) Phương trình \( (2x + 1)(3x – 2) = 0 \):

Phương trình được đưa về dạng tích: \( 2x + 1 = 0 \) hoặc \( 3x – 2 = 0 \).

Giải từng phương trình:
\[
2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}.
\]
\[
3x – 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}.
\]

Do đó, nghiệm của phương trình là:
\[
x = -\frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{2}{3}.
\]

Bài 2.2 toán 9 sgk KNTT trang 30

Giải các phương trình sau:

a) \( (x^2 – 4) + x(x – 2) = 0 \):

b) \( (2x + 1)^2 – 9x^2 = 0 \):

Giải:

a) Phương trình \( (x^2 – 4) + x(x – 2) = 0 \):

Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng tích:

\[
(x^2 – 4) + x(x – 2) = 0
\]

\[
(x – 2)(x + 2) + x(x – 2) = 0
\]

\[
(x – 2)(x + 2 + x) = 0
\]

\[
(x – 2)(2x + 2) = 0
\]

\[
(x – 2) \cdot 2(x + 1) = 0
\]

Phương trình tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng 0:

\[
x – 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0
\]

Giải từng phương trình:

\[
x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -1
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 2 \) và \( x = -1 \).

b) Phương trình \( (2x + 1)^2 – 9x^2 = 0 \):

Viết lại phương trình dưới dạng hiệu của hai bình phương:

\[
(2x + 1)^2 – (3x)^2 = 0
\]

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương:

\[
[(2x + 1) – 3x][(2x + 1) + 3x] = 0
\]

\[
(-x + 1)(5x + 1) = 0
\]

Phương trình tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng 0:

\[
-x + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 5x + 1 = 0
\]

Giải từng phương trình:

\[
-x + 1 = 0 \implies x = 1
\]

\[
5x + 1 = 0 \implies 5x = -1 \implies x = -\frac{1}{5}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \) và \( x = -\frac{1}{5} \).

Tham khảo thêm bài sau: “Toán 9 KNTT 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình”.

Bài 2.3 toán 9 sgk KNTT trang 30

Giải các phương trình sau:

a, \( \frac{2}{2x+1} + \frac{1}{x+1} = \frac{3}{(2x+1)(x+1)} \)

b, \( \frac{1}{x+1} – \frac{x}{x^2 – x + 1} = \frac{3x}{x^3 + 1} \)

Giải:

a) Phương trình \( \frac{2}{2x+1} + \frac{1}{x+1} = \frac{3}{(2x+1)(x+1)} \):

Ta có thể quy đồng mẫu số các phân thức:

\[
\frac{2}{2x+1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) + 1(2x+1)}{(2x+1)(x+1)}
\]

\[
= \frac{2x + 2 + 2x + 1}{(2x+1)(x+1)} = \frac{4x + 3}{(2x+1)(x+1)}
\]

Phương trình trở thành:

\[
\frac{4x + 3}{(2x+1)(x+1)} = \frac{3}{(2x+1)(x+1)}
\]

Ta có thể bỏ mẫu số (vì khác 0):

\[
4x + 3 = 3
\]

\[
4x = 0 \implies x = 0
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 0 \).

b) Phương trình \( \frac{1}{x+1} – \frac{x}{x^2 – x + 1} = \frac{3x}{x^3 + 1} \):

Ta có thể quy đồng mẫu số các phân thức:

\[
\frac{1}{x+1} – \frac{x}{x^2 – x + 1} = \frac{1(x^2 – x + 1) – x(x+1)}{(x+1)(x^2 – x + 1)}
\]

\[
= \frac{x^2 – x + 1 – x^2 – x}{(x+1)(x^2 – x + 1)} = \frac{-2x + 1}{(x+1)(x^2 – x + 1)}
\]

Mặt khác:

\[
\frac{3x}{x^3 + 1} = \frac{3x}{(x+1)(x^2 – x + 1)}
\]

Phương trình trở thành:

\[
\frac{-2x + 1}{(x+1)(x^2 – x + 1)} = \frac{3x}{(x+1)(x^2 – x + 1)}
\]

Ta có thể bỏ mẫu số (vì khác 0):

\[
-2x + 1 = 3x
\]

\[
1 = 5x \implies x = \frac{1}{5}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{1}{5} \).

Bài 2.4 toán 9 sgk KNTT trang 30

Bác An có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài 14 m và chiều rộng 12 m. Bác dự định xây nhà trên mảnh đất đó và dành một phần diện tích đất để làm sân vườn như Hình 2.3. Biết diện tích đất làm nhà là 100 m\(^2\). Hỏi \( x \) bằng bao nhiêu mét?

Giải:

Chiều dài của phần đất làm nhà là: \( 14 – (x + 2) = 12 – x \) (m). Điều kiện \( x < 12 \).

Chiều rộng của phần đất làm nhà là: \( 12 – x \) (m).

Diện tích đất làm nhà là: \( (12 – x)^2 \) (m\(^2\)).

Theo đề bài, diện tích đất làm nhà là 100 m\(^2\) nên ta có phương trình:

\[
(12 – x)^2 = 100. \quad (*)
\]

Giải phương trình (*), ta có:

\[
(12 – x)^2 = 100
\]

\[
(12 – x)^2 – 10^2 = 0
\]

\[
(12 – x – 10)(12 – x + 10) = 0
\]

\[
(2 – x)(22 – x) = 0
\]

Suy ra \( 2 – x = 0 \) hoặc \( 22 – x = 0 \).

Do đó \( x = 2 \) hoặc \( x = 22 \).

Ta thấy \( x = 2 \) thỏa mãn điều kiện \( x < 12 \).

Vậy \( x = 2 \).

Bài 2.5 toán 9 sgk KNTT trang 30

Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa thì xong công việc. Gọi x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, x > 0).

a) Hãy biểu thị theo x:

Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ;
Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ.

b) Hãy lập phương trình theo x và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó.

Lời giải:

a)

Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ là 1/y .
Gọi y là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ). Khi đó, khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ là 1/y .

b) Theo đề bài, ta có phương trình:
\[
4 \cdot \frac{1}{x} + 12 \cdot \frac{1}{y} = 1.
\]

Ta cũng có phương trình khác theo đề bài:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}.
\]

Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
\frac{4}{x} + \frac{12}{y} = 1, \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}.
\end{cases}
\]

Từ phương trình thứ hai, ta có:
\[
\frac{1}{y} = \frac{1}{8} – \frac{1}{x}.
\]

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được:
\[
\frac{4}{x} + 12 \left(\frac{1}{8} – \frac{1}{x}\right) = 1,
\]
\[
\frac{4}{x} + \frac{12}{8} – \frac{12}{x} = 1,
\]
\[
\frac{4}{x} + \frac{3}{2} – \frac{12}{x} = 1,
\]
\[
-\frac{8}{x} + \frac{3}{2} = 1,
\]
\[
-\frac{8}{x} = 1 – \frac{3}{2},
\]
\[
-\frac{8}{x} = -\frac{1}{2},
\]
\[
\frac{8}{x} = \frac{1}{2},
\]
\[
x = 16.
\]

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 16 giờ.

Thay x = 16 vào phương trình 1/x + 1/y = 1/8

\[
\frac{1}{16} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8},
\]
\[
\frac{1}{y} = \frac{1}{8} – \frac{1}{16},
\]
\[
\frac{1}{y} = \frac{2}{16} – \frac{1}{16},
\]
\[
\frac{1}{y} = \frac{1}{16},
\]
\[
y = 16.
\]

Vậy người thứ hai cũng làm một mình xong công việc trong 16 giờ.