Toán 9 KNTT 1: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bài học không chỉ cung cấp các phương pháp giải phương trình hiệu quả mà còn giúp học sinh áp dụng linh hoạt để giải quyết các vấn đề thực tiễn. Với kỹ năng này, học sinh có thể mở rộng hiểu biết và áp dụng vào nhiều tình huống khác nhau, từ đó nâng cao khả năng tư duy và giải quyết vấn đề trong học tập và cuộc sống.

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1.6 toán 9 sgk KNTT trang 16

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a)

\[
\begin{cases}
x – y = 3 \\
3x – 4y = 2
\end{cases}
\]

Lời giải:

Từ phương trình \( x – y = 3 \) ta có:

\[
x = y + 3 \quad (1)
\]

Thay \( x \) từ (1) vào phương trình thứ hai:

\[
3(y + 3) – 4y = 2
\]

Giải phương trình:

\[
3y + 9 – 4y = 2 \\
-y + 9 = 2 \\
-y = 2 – 9 \\
-y = -7 \\
y = 7
\]

Thay \( y = 7 \) vào (1):

\[
x = 7 + 3 = 10
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (10, 7) \).

b)

\[
\begin{cases}
7x – 3y = 13 \\
4x + y = 2
\end{cases}
\]

Lời giải:

Từ phương trình \( 4x + y = 2 \) ta có:

\[
y = 2 – 4x \quad (2)
\]

Thay \( y \) từ (2) vào phương trình thứ nhất:

\[
7x – 3(2 – 4x) = 13 \\
7x – 6 + 12x = 13 \\
19x – 6 = 13 \\
19x = 13 + 6 \\
19x = 19 \\
x = 1
\]

Thay \( x = 1 \) vào (2):

\[
y = 2 – 4(1) = 2 – 4 = -2
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, -2) \).

c)

\[
\begin{cases}
0,5x – 1,5y = 1 \\
-x + 3y = 2
\end{cases}
\]

Lời giải:

Từ phương trình \( -x + 3y = 2 \) ta có:

\[
x = 3y – 2 \quad (3)
\]

Thay \( x \) từ (3) vào phương trình thứ nhất:

\[
0,5(3y – 2) – 1,5y = 1 \\
1,5y – 1 – 1,5y = 1 \\
-1 = 1
\]

Điều này không thể xảy ra, do đó hệ phương trình vô nghiệm.

Bài 1.7 toán 9 sgk KNTT trang 16

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a)

\[
\begin{cases}
3x + 2y = 6 \\
2x – 2y = 14
\end{cases}
\]

Lời giải:

Cộng hai phương trình:

\[
3x + 2y + 2x – 2y = 6 + 14 \\
5x = 20 \\
x = 4
\]

Thay \( x = 4 \) vào phương trình thứ nhất:

\[
3(4) + 2y = 6 \\
12 + 2y = 6 \\
2y = 6 – 12 \\
2y = -6 \\
y = -3
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (4, -3) \).

b)

\[
\begin{cases}
0,3x + 0,5y = 3 \\
1,5x – 2y = 1,5
\end{cases}
\]

Lời giải:

Nhân phương trình thứ nhất với 5:

\[
5(0,3x + 0,5y) = 5 \cdot 3 \\
1,5x + 2,5y = 15 \quad (1′)
\]

Nhân phương trình thứ hai với 1:

\[
1,5x – 2y = 1,5 \quad (2′)
\]

Cộng hai phương trình \( (1′) \) và \( (2′) \):

\[
1,5x + 2,5y + 1,5x – 2y = 15 + 1,5 \\
3x + 0,5y = 16,5 \\
0,5y = 16,5 – 3x \\
y = \frac{16,5 – 3x}{0,5} \\
y = 33 – 6x
\]

Thay \( y = 33 – 6x \) vào phương trình thứ hai:

\[
1,5x – 2(33 – 6x) = 1,5 \\
1,5x – 66 + 12x = 1,5 \\
13,5x = 1,5 + 66 \\
13,5x = 67,5 \\
x = 5
\]

Thay \( x = 5 \) vào \( y = 33 – 6x \):

\[
y = 33 – 6(5) = 33 – 30 = 3
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (5, 3) \).

c)

\[
\begin{cases}
-2x + 6y = 8 \\
3x – 9y = -12
\end{cases}
\]

Lời giải:

Nhân phương trình thứ nhất với 3 và phương trình thứ hai với 2:

\[
3(-2x + 6y) = 3 \cdot 8 \\
-6x + 18y = 24 \quad (1′)
\]

\[
2(3x – 9y) = 2(-12) \\
6x – 18y = -24 \quad (2′)
\]

Cộng hai phương trình \( (1′) \) và \( (2′) \):

\[
-6x + 18y + 6x – 18y = 24 – 24 \\
0 = 0
\]

Điều này đúng với mọi giá trị của \( x \) và \( y \), do đó hệ phương trình có vô số nghiệm.

Xem thêm bài giải sau: “Toán 9 Kết nối tri thức 1: Khái niệm phương trình…hai ẩn“.

Bài 1.8 toán 9 sgk KNTT trang 16

Cho hệ phương trình
\[
\begin{cases}
2x – y = -3 \\
-2m^2 x + 9y = 3(m + 3)
\end{cases}
\]
trong đó \( m \) là số đã cho. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:

a) \( m = -2 \)

Thay \( m = -2 \) vào hệ phương trình, ta được:
\[
\begin{cases}
2x – y = -3 \\
-2(-2)^2 x + 9y = 3(-2 + 3)
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
2x – y = -3 \\
-8x + 9y = 3
\end{cases}
\]

Nhân phương trình đầu tiên với 4, ta có:
\[
4(2x – y) = 4(-3) \\
8x – 4y = -12
\]

Cộng hai phương trình, ta có:
\[
8x – 4y – 8x + 9y = -12 + 3 \\
5y = -9 \\
y = -\frac{9}{5}
\]

Thay \( y = -\frac{9}{5} \) vào phương trình đầu tiên:
\[
2x – \left(-\frac{9}{5}\right) = -3 \\
2x + \frac{9}{5} = -3 \\
2x = -3 – \frac{9}{5} \\
2x = -\frac{15}{5} – \frac{9}{5} \\
2x = -\frac{24}{5} \\
x = -\frac{12}{5}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( \left( -\frac{12}{5}, -\frac{9}{5} \right) \).

b) \( m = -3 \)

Thay \( m = -3 \) vào hệ phương trình, ta được:
\[
\begin{cases}
2x – y = -3 \\
-2(-3)^2 x + 9y = 3(-3 + 3)
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
2x – y = -3 \\
-18x + 9y = 0
\end{cases}
\]

Nhân phương trình đầu tiên với 9, ta có:
\[
9(2x – y) = 9(-3) \\
18x – 9y = -27
\]

Cộng hai phương trình, ta có:
\[
18x – 9y – 18x + 9y = -27 + 0 \\
0 = -27
\]

Điều này mâu thuẫn nên hệ phương trình vô nghiệm.

c) \( m = 3 \)

Thay \( m = 3 \) vào hệ phương trình, ta được:
\[
\begin{cases}
2x – y = -3 \\
-2(3)^2 x + 9y = 3(3 + 3)
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
2x – y = -3 \\
-18x + 9y = 18
\end{cases}
\]

Nhân phương trình đầu tiên với 9, ta có:
\[
9(2x – y) = 9(-3) \\
18x – 9y = -27
\]

Cộng hai phương trình, ta có:
\[
18x – 9y – 18x + 9y = -27 + 18 \\
0 = -9
\]

Điều này mâu thuẫn nên hệ phương trình vô nghiệm.

Bài 1.9 toán 9 sgk KNTT trang 16

Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a)
\[
\begin{cases}
12x – 5y + 24 = 0 \\
-5x – 3y – 10 = 0
\end{cases}
\]

Lời giải:

Ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
12x – 5y + 24 = 0 \\
-5x – 3y – 10 = 0
\end{cases}
\]

Nhân phương trình thứ hai với 12 và phương trình thứ nhất với 5:
\[
\begin{cases}
60x – 25y + 120 = 0 \\
-60x – 36y – 120 = 0
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình:
\[
60x – 25y + 120 – 60x – 36y – 120 = 0 \\
-61y = 0 \\
y = 0
\]

Thay \(y = 0\) vào phương trình thứ nhất:
\[
12x – 5(0) + 24 = 0 \\
12x + 24 = 0 \\
12x = -24 \\
x = -2
\]

Vậy nghiệm của hệ là \((x, y) = (-2, 0)\).

b)
\[
\begin{cases}
\frac{1}{3}x – y = \frac{2}{3} \\
x – 3y = 2
\end{cases}
\]

Lời giải:

Nhân phương trình đầu tiên với 3:
\[
\begin{cases}
x – 3y = 2 \\
x – 3y = 2
\end{cases}
\]

Hệ phương trình này có vô số nghiệm vì hai phương trình là tương đương.

c)
\[
\begin{cases}
3x – 2y = 1 \\
-x + \frac{2}{3}y = 0
\end{cases}
\]

Lời giải:

Nhân phương trình thứ hai với 3:
\[
\begin{cases}
3x – 2y = 1 \\
-3x + 2y = 0
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình:
\[
3x – 2y – 3x + 2y = 1 \\
0 = 1
\]

Điều này mâu thuẫn nên hệ phương trình vô nghiệm.

d)
\[
\begin{cases}
\frac{4}{9}x – \frac{3}{5}y = 11 \\
\frac{2}{9}x + \frac{1}{5}y = -2
\end{cases}
\]

Lời giải:

Nhân phương trình đầu tiên với 45 và phương trình thứ hai với 45 để khử mẫu:
\[
\begin{cases}
20x – 27y = 495 \\
10x + 9y = -90
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
Nhân phương trình thứ hai với 2:
\[
\begin{cases}
20x – 27y = 495 \\
20x + 18y = -180
\end{cases}
\]

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình đầu tiên:
\[
20x – 27y – (20x + 18y) = 495 – (-180) \\
-45y = 675 \\
y = -15
\]

Thay \(y = -15\) vào phương trình thứ hai:
\[
10x + 9(-15) = -90 \\
10x – 135 = -90 \\
10x = 45 \\
x = 4.5
\]

Vậy nghiệm của hệ là \((x, y) = (4.5, -15)\).