Toán 9 Kết nối tri thức 1: Khái niệm phương trình…hai ẩn

Chương trình Toán lớp 9 tiếp tục mang đến cho các em học sinh những kiến thức thú vị và thách thức hơn với bài ‘Khái niệm phương trình…hai ẩn‘ trong sách ‘Kết nối tri thức’. Bài học này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu về cấu trúc và cách giải các phương trình với hai ẩn số, mà còn mở ra những ứng dụng thực tiễn quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác. Hãy cùng nhau khám phá và nắm vững khái niệm này để chuẩn bị tốt cho những bài học tiếp theo và các kỳ thi quan trọng sắp tới.

Giải bài tập phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trang 10

Bài 1.1 toán 9 sgk KNTT trang 10

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn, vì sao?

\begin{align*}
a) & \quad 5x – 8y = 0; \\
b) & \quad 4x + 0y = -2; \\
c) & \quad 0x + 0y = 1; \\
d) & \quad 0x – 3y = 9.
\end{align*}

Lời giải:

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát: ax + by = c, với a, b, c là các hằng số và a \neq 0 hoặc b \neq 0.

(a) 5x – 8y = 0 là phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó có dạng \(ax + by = c\), với \(a = 5 \neq 0\) và \(b = -8 \neq 0\).
(b) 4x + 0y = -2 cũng là phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó có dạng \(ax + by = c\), với \(a = 4 \neq 0\) và \(b = 0\).
(c) 0x + 0y = 1 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì cả \(a = 0\) và \(b = 0\).
(d) 0x – 3y = 9 là phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó có dạng \(ax + by = c\), với \(a = 0\) và \(b = -3 \neq 0\).

Bài 1.2 toán 9 sgk KNTT trang 10

Câu a: Tìm giá trị thích hợp thay cho dấu “?” trong bảng sau rồi biết 6 nghiệm của phương trình 2x – y = 1:

Giải:

Ta có công thức của y là y = 2x – 1. Thay các giá trị của x vào, ta được:
\begin{align*}
x = -1 &\Rightarrow y = 2(-1) – 1 = -3 \\
x = -0.5 &\Rightarrow y = 2(-0.5) – 1 = -2 \\
x = 0 &\Rightarrow y = 2(0) – 1 = -1 \\
x = 0.5 &\Rightarrow y = 2(0.5) – 1 = 0 \\
x = 1 &\Rightarrow y = 2(1) – 1 = 1 \\
x = 2 &\Rightarrow y = 2(2) – 1 = 3 \\
\end{align*}

Ta có bảng sau:

Câu b: Viết nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.

Giải:

Phương trình 2x – y = 1 có thể viết lại thành y = 2x – 1. Nghiệm tổng quát của phương trình là y = 2x – 1.

Bài 1.3 toán 9 sgk KNTT trang 10

a) Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình \(2x – y = 3\):

Nghiệm tổng quát:
\begin{align*}
2x – y &= 3 \\
y &= 2x – 3
\end{align*}

Biểu diễn hình học:

b) Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình \(0x + 2y = -4\):

Nghiệm tổng quát:
\begin{align*}
0x + 2y &= -4 \\
2y &= -4 \\
y &= -2
\end{align*}

Biểu diễn hình học:

c) Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình \(3x + 0y = 5\):

Nghiệm tổng quát:
\begin{align*}
3x + 0y &= 5 \\
3x &= 5 \\
x &= \frac{5}{3}
\end{align*}

Biểu diễn hình học:

Bài 1.4 toán 9 sgk KNTT trang 10

a) Hệ phương trình
\begin{align*}
\begin{cases}
2x = -6 \\
5x + 4y = 1
\end{cases}
\end{align*}
có là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn không, vì sao?

Lời giải:

Hệ phương trình trên là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vì cả hai phương trình đều là phương trình bậc nhất và có hai ẩn số \(x\) và \(y\). Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(ax + by = c\) với \(a, b, c\) là các hằng số, và trong hệ phương trình này, cả hai phương trình đều thỏa mãn điều kiện đó.

b) Cặp số \((-3; 4)\) có là một nghiệm của hệ phương trình đó hay không, vì sao?

Lời giải:

Để kiểm tra cặp số \((-3; 4)\) có là nghiệm của hệ phương trình hay không, ta thay \(x = -3\) và \(y = 4\) vào cả hai phương trình của hệ:

1. Thay vào phương trình thứ nhất:
\begin{align*}
2x &= -6 \\
2(-3) &= -6 \\
-6 &= -6
\end{align*}
Phương trình thứ nhất đúng.

2. Thay vào phương trình thứ hai:
\begin{align*}
5x + 4y &= 1 \\
5(-3) + 4(4) &= 1 \\
-15 + 16 &= 1 \\
1 &= 1
\end{align*}
Phương trình thứ hai cũng đúng.

Vậy cặp số \((-3; 4)\) là một nghiệm của hệ phương trình.

Bài 1.5 toán 9 sgk KNTT trang 10

Cho các cặp số \((-2; 1)\), \((0; 2)\), \((1; 0)\), \((1,5; 3)\), \((4; -3)\) và hai phương trình
\begin{align*}
5x + 4y &= 8, \quad \text{(1)} \\
3x + 5y &= -3. \quad \text{(2)}
\end{align*}

Lời giải:

a, Những cặp số nào là nghiệm của phương trình (1)?

Thay x = -2 và y = 1 vào phương trình (1), ta có:

\[
5x + 4y = 5 \cdot (-2) + 4 \cdot 1 = -10 + 4 = -6 \neq 8
\]

Do đó, (-2; 1) không phải là nghiệm của phương trình (1).

Thay x = 0 và y = 2 vào phương trình (1), ta có:

\[
5x + 4y = 5 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 0 + 8 = 8
\]

Do đó, (0; 2) là nghiệm của phương trình (1).

Thay x = 1 và y = 0 vào phương trình (1), ta có:

\[
5x + 4y = 5 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 5 + 0 = 5 \neq 8
\]

Do đó, (1; 0) không phải là nghiệm của phương trình (1).

Thay x = 1,5 và y = 3 vào phương trình (1), ta có:

\[
5x + 4y = 5 \cdot 1,5 + 4 \cdot 3 = 7,5 + 12 = 19,5 \neq 8
\]

Do đó, (1,5; 3) không phải là nghiệm của phương trình (1).

Thay x = 4 và y = -3 vào phương trình (1), ta có:

\[
5x + 4y = 5 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 20 – 12 = 8
\]

Do đó, (4; -3) là nghiệm của phương trình (1).

Vậy các cặp số là nghiệm của phương trình (1) là (0; 2) và (4; -3).

b) Tìm nghiệm của hệ phương trình

Để cặp số là nghiệm của hệ hai phương trình gồm phương trình (1) và phương trình (2), cặp số đó phải là nghiệm của cả hai phương trình. Ta có:

Thay x = 0 và y = 2 vào phương trình (2), ta có:

\[
3x + 5y = 3 \cdot 0 + 5 \cdot 2 = 0 + 10 = 10 \neq -3
\]

Do đó, (0; 2) không phải là nghiệm của phương trình (2).

Thay x = 4 và y = -3 vào phương trình (2), ta có:

\[
3x + 5y = 3 \cdot 4 + 5 \cdot (-3) = 12 – 15 = -3
\]

Do đó, (4; -3) là nghiệm của phương trình (2).

Vậy nghiệm chung của hệ phương trình (1) và (2) là cặp số (4; -3).

c) Vẽ đồ thị của các phương trình

Đường thẳng 5x + 4y = 8 đi qua các điểm A(0; 2) và B(4; -3).

Đường thẳng 3x + 5y = -3 đi qua các điểm B(4; -3) và C(-1; 0).

Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm B(4; -3), nghĩa là (4; -3) là nghiệm của hệ phương trình (1) và (2).